а) Обратная функция спроса имеет вид P = 24 - Q/2 ; выручка Шарика от продажи творога равна P \cdot Q = (24 - Q/2)Q .

Выпишем общий доход Шарика: R(Q, t_u) = (24 - Q/2)Q + 2 \cdot t_u, где t_u — время, потраченное на уроки фотоохоты. Поскольку t(Q) + t_u = 50 и t(Q) = Q^2/2 , функцию дохода можно записать как

R(Q) = (24 - Q/2)Q + 2(50 - Q^2/2) = 24Q - 3Q^2/2 + 100.

При этом Q \in [0; 10] , так как максимальный объем производства из-за ограничения на общее время равен \sqrt{50/2} = 10 .

Текст с изображения:

Функция дохода является квадратичной, ветви параболы направлены вниз, и вершина находится в точке Q = 24/(2 \cdot 3/2) = 8 . Поскольку 8 \in [0; 10] , это и есть оптимальный выпуск.

Ответ: Q^* = 8 .

б) Если Шарик согласится, обратная функция спроса примет вид P = 36 - Q/2 . Аналогично пункту а), запишем доход Шарика:

\pi = (36 - Q/2)Q + 2(50 - Q^2/2) = 36Q - 3Q^2/2 + 100.

Шарик максимизирует на отрезке [0; 10]. Вершина параболы в точке Q = 36/3 = 12 . Вершина находится справа от допустимого отрезка, и поэтому оптимум достигается в правой границе отрезка, то есть при Q^* = 10 .

Ответ: Q^* = 10 , нет.

в) При согласии Печкин будет брать 1/3 от выручки, то есть от величины (36 - Q/2)Q . Значит, функция дохода Шарика примет вид

R = (1 - 1/3) \cdot (36 - Q/2)Q + 100 - Q^2/2 = 24Q - Q^2/3 + 100.

Шарик максимизирует её на отрезке [0; 10]. Вершина параболы в точке Q = 24/(8/3) = 9. Поскольку 9 \in [0; 10] , эта точка и будет оптимумом. Q^* = 9.

Доход Шарика (уже за вычетом платежа Печкину) равен

R_2 = 24 \cdot 9 - 4 \cdot 9^2/3 + 100 = 216 - 108 + 100 = 208.

Поскольку 208 > 196, нужно соглашаться.

Ответ: Q^* = 9 , да.

Примечание: В каждом пункте можно было получить те же ответы, если максимизировать не общий доход, а экономическую прибыль от продажи творога, то есть выручку от продажи творога за вычетом экономических издержек. В задаче явные издержки производства творога равны нулю, а неявные издержки равны упущенной выгоде, то есть доходу от уроков, потерянному из-за производства творога. Тогда экономическая прибыль равна

\pi(Q) = TR(Q) - 2 \cdot t(Q), где TR(Q) — выручка от продажи творога, в то время как суммарный доход равен

R = TR(Q) + 2(50 - t(Q)) = \pi(Q) + 100.

Таким образом, экономическая прибыль от продажи творога и суммарный доход отличаются лишь на константу, а значит, оптимальные выпуски при максимизации этих функций совпадают.