Шарик-бизнесмен
Матроскин уехал в отпуск и решил оставить на Шарика производство творога. В Простоквашино Шарик является монополистом. Недельный спрос на творог задается функцией Q = 48 - 2P , где P — цена (в е./кг), Q — объем (в кг). Чтобы произвести Q кг творога, Шарику нужно потратить t(Q) = Q^2/2 часов (зависимость нелинейная, так как Шарик устает, и каждый следующий килограмм дается ему труднее). Помимо продажи творога Шарик может давать уроки фотоохоты по цене 2 е. в час (если часов на уроки не может быть больше 50 часов в неделю на выполнение обоих видов работ (остальное время он восстанавливает силы). Шарик максимизирует свой суммарный доход от двух видов деятельности.
а) (9 баллов) Найдите оптимальный для Шарика объем производства творога и максимальный суммарный доход Шарика.
б) (11 баллов) Почтальон Печкин предложил Шарику услугу привлечения клиентов в окрестных деревень, в результате которого спрос на творог возрастет до Q = 72 - 2P. Печкин просит за услугу 115 е. Какой объем производства следует выбрать Шарику, если он согласится на предложение Печкина? Стоит ли ему соглашаться?
в) (10 баллов) Допустим, Печкин за свои услуги просит не фиксированную сумму, а взять его в долю. А именно, Печкин просит, чтобы Шарик отдавал Печкину треть выручки от продажи творога. Какой объем производства следует выбрать Шарику, если он согласится? Стоит ли Шарику соглашаться?
а) Обратная функция спроса имеет вид P = 24 - Q/2 ; выручка Шарика от продажи творога равна P \cdot Q = (24 - Q/2)Q .
Выпишем общий доход Шарика: R(Q, t_u) = (24 - Q/2)Q + 2 \cdot t_u, где t_u — время, потраченное на уроки фотоохоты. Поскольку t(Q) + t_u = 50 и t(Q) = Q^2/2 , функцию дохода можно записать как
R(Q) = (24 - Q/2)Q + 2(50 - Q^2/2) = 24Q - 3Q^2/2 + 100.
При этом Q \in [0; 10] , так как максимальный объем производства из-за ограничения на общее время равен \sqrt{50/2} = 10 .
Текст с изображения:
Функция дохода является квадратичной, ветви параболы направлены вниз, и вершина находится в точке Q = 24/(2 \cdot 3/2) = 8 . Поскольку 8 \in [0; 10] , это и есть оптимальный выпуск.
Ответ: Q^* = 8 .
б) Если Шарик согласится, обратная функция спроса примет вид P = 36 - Q/2 . Аналогично пункту а), запишем доход Шарика:
\pi = (36 - Q/2)Q + 2(50 - Q^2/2) = 36Q - 3Q^2/2 + 100.
Шарик максимизирует на отрезке [0; 10]. Вершина параболы в точке Q = 36/3 = 12 . Вершина находится справа от допустимого отрезка, и поэтому оптимум достигается в правой границе отрезка, то есть при Q^* = 10 .
Ответ: Q^* = 10 , нет.
в) При согласии Печкин будет брать 1/3 от выручки, то есть от величины (36 - Q/2)Q . Значит, функция дохода Шарика примет вид
R = (1 - 1/3) \cdot (36 - Q/2)Q + 100 - Q^2/2 = 24Q - Q^2/3 + 100.
Шарик максимизирует её на отрезке [0; 10]. Вершина параболы в точке Q = 24/(8/3) = 9. Поскольку 9 \in [0; 10] , эта точка и будет оптимумом. Q^* = 9.
Доход Шарика (уже за вычетом платежа Печкину) равен
R_2 = 24 \cdot 9 - 4 \cdot 9^2/3 + 100 = 216 - 108 + 100 = 208.
Поскольку 208 > 196, нужно соглашаться.
Ответ: Q^* = 9 , да.
Примечание: В каждом пункте можно было получить те же ответы, если максимизировать не общий доход, а экономическую прибыль от продажи творога, то есть выручку от продажи творога за вычетом экономических издержек. В задаче явные издержки производства творога равны нулю, а неявные издержки равны упущенной выгоде, то есть доходу от уроков, потерянному из-за производства творога. Тогда экономическая прибыль равна
\pi(Q) = TR(Q) - 2 \cdot t(Q), где TR(Q) — выручка от продажи творога, в то время как суммарный доход равен
R = TR(Q) + 2(50 - t(Q)) = \pi(Q) + 100.
Таким образом, экономическая прибыль от продажи творога и суммарный доход отличаются лишь на константу, а значит, оптимальные выпуски при максимизации этих функций совпадают.