Задача 2 ОЧ-2015 (10 класс)
Рассмотрим классическую дилемму современного человека: с одной стороны – поддержание физической формы на определенном уровне, а с другой – удовольствие от потребления торта. Пусть уровень физической формы Антона зависит положительно от количества часов, проведенных в спортзале (переменная x ), и отрицательно – от единиц съеденного тортика (переменная y ): F(x,y)=x^2-xy-y^2+73. Антон точно уверен, что он не проведёт в спортзале больше 3 часов. Однако Антон желает, чтобы при любом времени, проведенном в спортзале и удовлетворяющем вышеописанным условиям, уровень его физической формы не падал ниже 9 условных единиц. Определите максимально возможное при этом количество единиц потребленных тортиков.
В задании не предполагается целочисленность переменных.
Переформулируем задачу в виде математической модели. От нас требуется найти максимальное значение y, при котором F(x,y) будет \geq 9 при любом x\leq 3.
Сразу заметим, что наши переменные принимают только неотрицательные значения.
Рассмотрим функцию f(x)=x^2-xy-y^2+73=x^2-xy-y^2+64. Найдем y, при которых эта функция будет \geq0 при любом x\leq3. Для этого нужно рассмотреть 3 случая.
Во-первых, решить систему (это случай, когда x не меньше 3 ):
\begin{cases} f(3) \geq 0 \\ x_{\text{вершины}} \geq 3 \end{cases}
Решение системы : \left[ 6; \frac{\sqrt{301} - 3}{2} \right]
Во-вторых, рассматриваемая f(x) будет неотрицательной при условии D\leq0 :
D = y^2 - 4(64 - y^2) = 5y^2 - 256 \leq 0
y \in \left[ -\frac{16}{\sqrt{5}}; \frac{16}{\sqrt{5}} \right]
В-третьих, нерассмотренным остается случай, когда x меньше 3 : единственное подходящее в этом случае значение – 0. Тогда y\in[-8;8]
Объединяя три наших случая и учитывая неотрицательность, получаем y\in[0;8].
Тогда наибольшее количество единиц тортика, которое может потребить Антон при заданных условиях, равно 8.
Ответ:
8 единиц.