Переформулируем задачу в виде математической модели. От нас требуется найти максимальное значение y, при котором F(x,y) будет \geq 9 при любом x\leq 3.

Сразу заметим, что наши переменные принимают только неотрицательные значения.

Рассмотрим функцию f(x)=x^2-xy-y^2+73=x^2-xy-y^2+64. Найдем y, при которых эта функция будет \geq0 при любом x\leq3. Для этого нужно рассмотреть 3 случая.

Во-первых, решить систему (это случай, когда x не меньше 3 ):

\begin{cases} f(3) \geq 0 \\ x_{\text{вершины}} \geq 3 \end{cases}

Решение системы : \left[ 6; \frac{\sqrt{301} - 3}{2} \right]

Во-вторых, рассматриваемая f(x) будет неотрицательной при условии D\leq0 :

D = y^2 - 4(64 - y^2) = 5y^2 - 256 \leq 0

y \in \left[ -\frac{16}{\sqrt{5}}; \frac{16}{\sqrt{5}} \right]

В-третьих, нерассмотренным остается случай, когда x меньше 3 : единственное подходящее в этом случае значение – 0. Тогда y\in[-8;8]

Объединяя три наших случая и учитывая неотрицательность, получаем y\in[0;8].

Тогда наибольшее количество единиц тортика, которое может потребить Антон при заданных условиях, равно 8.

Ответ:

8 единиц.