Задача 2 ОЧ-2015 (10 класс)
Рассмотрим классическую дилемму современного человека: с одной стороны – поддержание физической формы на определенном уровне, а с другой – удовольствие от потребления торта. Пусть уровень физической формы Антона зависит положительно от количества часов, проведенных в спортзале (переменная ), и отрицательно – от единиц съеденного тортика (переменная ): . Антон точно уверен, что он не проведёт в спортзале больше часов. Однако Антон желает, чтобы при любом времени, проведенном в спортзале и удовлетворяющем вышеописанным условиям, уровень его физической формы не падал ниже условных единиц. Определите максимально возможное при этом количество единиц потребленных тортиков.
В задании не предполагается целочисленность переменных.
Ответ
Переформулируем задачу в виде математической модели. От нас требуется найти максимальное значение , при котором будет при любом .
Сразу заметим, что наши переменные принимают только неотрицательные значения.
Рассмотрим функцию . Найдем , при которых эта функция будет при любом . Для этого нужно рассмотреть случая.
Во-первых, решить систему (это случай, когда x не меньше ):
Решение системы :
Во-вторых, рассматриваемая будет неотрицательной при условии :
В-третьих, нерассмотренным остается случай, когда x меньше : единственное подходящее в этом случае значение – . Тогда
Объединяя три наших случая и учитывая неотрицательность, получаем .
Тогда наибольшее количество единиц тортика, которое может потребить Антон при заданных условиях, равно .
Ответ:
единиц.