1) Решать этот пункт мы будем в три этапа: сначала рассмотрим действия фирм, потом действия центрального банка, а потом профсоюза.

Начнем с того, что выведем функцию предложения. Прибыль одной фирмы имеет вид:

\pi = P \cdot 2\sqrt{L} - wL = Py - w \left( \frac{y}{2} \right)^2.

Относительно y это парабола с ветвями вниз, вершина которой y^*=2P/w. Следовательно выпуск всех фирм, то есть совокупное предложение, имеет вид: Y=200P/w.

Решим теперь задачу центрального банка. Конечно, по условию задачи центральный банк напрямую воздействует на денежную массу, однако выбирая денежную массу, он может определять уровень цен, который сложится в экономике. В условии задачи нас спрашивают про цены, поэтому для удобства выразим счастье Джона Смита через P, а не через M :

U = Y - 50 \pi^2 = \frac{200P}{w} - 50(P-1)^2 = -50P^2 + 100\left(1 + \frac{2}{w}\right)P - 50.

Относительно P это парабола с ветвями вниз, вершина которой P=1+2/w. Следовательно, выпуск будет равен Y=\frac {200(w+2)}{w^2}.

Понимая, как устроено решение центрального банка, профсоюз подберет номинальную заработную плату так, чтобы реальная в точности равнялась единице:

w/P=1, \frac{w}{1+2/w}=1, w=2.

Отсюда нетрудно посчитать, что P^*=2, Y^*=200.

2) Важное отличие от предыдущего случая состоит в том, что теперь глава центрального

банка понимает, что какой бы уровень цен он ни выбрал, реальная заработная плата w/P в результате действий профсоюза обязательно будет равна 1, откуда Y=200. Получается, что центробанк не влияет на реальный ВВП и должен заботиться только об инфляции, которую он может минимизировать, выбрав P^*=1. Формально,

U = Y - 50\pi^2 = \frac{200P}{w} - 50(P - 1)^2 = 200 - 50(P - 1)^2.

Эта функция достигает максимума при P^*=1, при этом Y^*=200.

Примечание. В обоих пунктах можно выражать счастье Джона Смита не через уровень цен, а через величину денежной массы. Тогда решение будет более громоздким, но результат получится такой же. Попутно вы найдете, что в пункте 1) M^*=400, а в пункте 2) M^*=200.

3) Уровень выпуска в обоих случаях одинаковый, а инфляция во втором случае равна нулю (в то время, как в первом случае она больше нуля). Поэтому уровень счастья Джона Смита во втором случае выше.

Эта задача иллюстрирует преимущества ситуации, когда центральный банк проводит политику по заранее определенным правилам (будь то таргетирование денежной массы или таргетирование инфляции, или еще какое-то правило монетарной политики).

При отсутствии ограничений у центрального банка, он всегда имеет стимул напечатать побольше денег, чтобы попробовать увеличить выпуск. Остальные экономические агенты понимают это, и ожидают высокой инфляции. Которая в результате и возникает.

Если же свобода действий ЦБ ограничена правилами, то, как мы видим из решения задачи, при том же самом уровне выпуска удается обеспечить более низкую инфляцию.

Примечание. Почему бы в пункте 1) профсоюзу не вести себя так же, как в пункте 2), и не установить w=1 ? Ведь профсоюзу вроде бы все равно, а центральному банку будет лучше?

Если профсоюз выберет такую зарплату в пункте 1), то функция счастья центрального банка примет вид:

U = Y - 50\pi^2 = 200P - 50(P - 1)^2 = -50P^2 + 300P - 50.

В этом случае ЦБ, конечно, выберет P=3, а значит, реальная зарплата окажется равна 1/3 и цель профсоюза не будет достигнута. Заметим, что в этом случае в экономике будет наблюдаться высокая инфляция, однако и выпуск будет больше, чем 200.