КПВ для ленивых.
У старика есть сын и монопольная власть над ним в силу своего авторитета. Возможности старика в производстве пшена и перловки заданы уравнением:
psheno=100-0,5perlovka.
У сына же КПВ имеет вид: psheno=100-perlovka^2/400.
В 1 периоде отец ничего не производит, а растет и заводит сына. Во 2 периоде сын уже подрос, и они вдвоем производят пшено и перловку. В остальных периодах производством занимается лишь сын, а отец находится на пенсии (на самом деле, он просто ленивый). Отец в каждом периоде может предложить сыну абсолютно любой обмен, на который тот согласится, если выиграет или ничего не потеряет.
А) Помогите отцу получить максимальные запасы зерна и пшена в третьем периоде, то есть их сумму, если это возможно при условии, что отец специализируется на одной из культур.
Б) При каком минимальном числе периодов при таком взаимодействии запасы отца возрастут как минимум до 101050, и возможно ли такое вообще?
А) Теперь нам доступен любой отрезок, соединяющий две точки КПВ сына, а так как крайние точки совпадают, то можно соединить нашу крайнюю точку КПВ с любой на его, то есть нам доступны все его производственные возможности. Докажем, что это наилучший вариант. Так как модуль производной КПВ возрастает, то наклон отрезка, соединяющего две точки на КПВ при увеличении икса при заданном обмениваемом ко-ве икса возрастает, а это наша обменная пропорция. Тогда максимум достигается в точке касания кривой безразличия выручки с наклоном 1, то есть где производная равна -1, то есть x равен 200, как и запасы (крайняя точка).
Б) Основываясь на рассуждениях прошлого пункта от каждой точки нашей прямой будем откладывать отрезок, соединяющий одну крайнюю и любую другую точку КПВ, тогда получим, что в результате такого "прокатывания" получится отрезок, переходящий в прямую с наклоном равным АИ КПВ отца. Экономический смысл в том, что можно и ничего не прокатывать, а сказать, что мы всегда в начале используем преимущество от обмена с более низкими постоянными альтернативными издержками, а уже потом всё допроизводим сами, что и получилось. Тогда при таком прокатывании получим такую картинку:
Теперь проделаем то же самое, только с прямой, чтобы проверить, что при обмене в разные стороны они будут образовывать единую КТВ, первая будет задаваться как Y=A+75-0,5(x+100)=A+25-0,5x, а вторая Y=A-25-0,5(x-100)=A+25-0,5x, соответственно они совпадают и будут лежать над участками параболы справа и слева, и это работает для каждого следующего периода, значит если в каждом следующем периоде крайняя точка линейной КПВ по y увеличивается на 25, а во втором периоде она 100, то в периоде с номером k K КПВ будем иметь вид Y=50+25k-0,5x, k\in\{2,3,4,5...n\}. Y+X=50+25k+0,5x, значит оптимальный икс равен максимально возможному, то есть 100+50k\geq 101050, откуда k\geq 2019, значит минимум 2019.
Ответ:
A) 200
Б) 2019