1) (5 баллов) Если ресурсы абсолютно мобильны, то весь труд будет работать только по лучшим технологиям. Поэтому все иксы будут производиться в E, а все игреки — в W:

x=4Lx,y=2Ly,L=15+15=30

\frac{x}{4} + \frac{y}{2} = 30 \Leftrightarrow y = 60 - 0.5x

(a) 3 балла за указание на распределение всего труда по лучшим технологиям

(b) 2 балла за верный ответ (при наличии первого пункта)

2) (5 баллов) Если ресурсы абсолютно не мобильны, то перед нами стандартная задача сложения двух линейных КПВ:

E: x = 2L_x, y = 2L_y, L_E = 15 \\ \frac{x}{2} + \frac{y}{2} = 15 \Leftrightarrow y = 30 - x \\ W: x = 4L_x, y = L_y, L_W = 15 \\ \frac{x}{4} + y = 15 \Leftrightarrow y = 15 - 0.25x

КПВ региона W переместится вверх на 30, а КПВ региона E переместится вправо на 60. Первый участок:

y=15−0.25x+30=45−0.25x,0\leq x \leq 60

Второй участок:

y=30−(x−60)=90−x,60 \leq x \leq 90

Таким образом, искомая КПВ имеет вид:

y = \begin{cases} 45 - 0.25x, & \text{если } 0 \leq x \leq 60; \\ 90 - x, & \text{если } 60 < x \leq 90. \end{cases}

(a) 3 балла за сложение КПВ

(b) 2 балла за верный ответ

3) (10 баллов) Предположим, что мы из региона E перебросили в регион W m единиц труда. Тогда КПВ регионов имеют вид:

\text{E:} \quad x = 2L_{x}, y = 2L_{y}, L_{E} = 15 - \frac{5m}{4} \\ \frac{x}{2} + \frac{y}{2} = 15 - \frac{5m}{4} \Leftrightarrow y = 30 - x - \frac{5m}{2} \\ \text{W:} \quad x = 4L_{x}, y = L_{y}, L_{W} = 15 + \frac{5m}{4} \\ \frac{x}{4} + y = 15 + \frac{5m}{4} \Leftrightarrow y = 15 - 0.25x + \frac{5m}{4} \\

Общая КПВ имеет вид:

y = \begin{cases} 45 - 1.5m - 0.25x, & \text{если } 0 \leq x \leq 60 + 4m; \\ 90 + 1.5m - x, & \text{если } 60 + 4m < x \leq 90 + 1.5m. \end{cases}

Заметим, что при фиксированном x первая строчка убывает по m, а вторая возрастает по m. Значит, для фиксированного x выгодно значение m>0, при котором x лежит на границе этих двух частей, т.е. 60+4m=x.

Значит,

y = \begin{cases} 45 - 0.25x, & \text{если } 0 \leq x \leq 60; \\ 90 + \frac{1.5(x-60)}{4} - x, & \text{если } 60 < x \leq 90 + 1.5m. \end{cases}

или

y = \begin{cases} 45 - 0.25x, & \text{если } 0 \leq x \leq 60; \\ 67.5 - 0.625x, & \text{если } 60 < x \leq 108. \end{cases}

Проделаем аналогичные рассуждения, если ресурсы перекидываются из области W в область E.

Предположим, что мы из региона W перебросили в регион E m единиц труда.

Тогда КПВ регионов имеют вид:

E: \quad x = 2L_{x}, y = 2L_{y}, L_{E} = 15 + m \\ \frac{x}{2} + y = 15 + m \Leftrightarrow y = 30 - \frac{x}{2} + 2m - x \\ W: \quad x = 4L_{x}, y = L_{y}, L_{W} = 15 - m \\ \frac{x}{4} + y = 15 - m \Leftrightarrow y = 15 - 0.25x - m

Общая КПВ имеет вид:

y = \begin{cases} 45 + 0.75m - 0.25x, \text{если } 0 \leq x \leq 60 - 5m; \\ 90 - 3m - x, \text{если } 60 - 5m < x \leq 90 - 3m. \end{cases}

Заметим, что при фиксированном x первая строчка возрастает по m, а вторая убывает по m. Значит, для фиксированного x выгодно значение m>0, при котором x лежит на границе этих двух частей, т.е. 60−5m=x(1)

Значит,

y = \begin{cases} 45 + \frac{0.75(x - 60)}{5} - 0.25x, \text{если } 0 \leq x \leq 60; \\ 90 - x, \text{если } 60 < x \leq 90. \end{cases}

или

y = \begin{cases} 54 - 0.4x, \text{если } 0 \leq x \leq 60; \\ 90 - x, \text{если } 60 < x \leq 90. \end{cases}

Теперь заметим, что при x \leq 60 выгоден второй случай (перекидывание ресурсов из W в E), а при x>60 — первый (перекидывание ресурсов из E в W). Значит, итоговая КПВ имеет вид

y = \begin{cases} 54 - 0.4x, \text{если } 0 \leq x \leq 60; \\ 67.5 - 0.625x, \text{если } 60 < x \leq 108. \end{cases}

(a) по 2 балла за вывод КПВ при переброске m единиц (из W в E, из E в W)

(b) по 2 балла за упрощение КПВ (избавление от m) в каждом из двух случаев

(c) 2 балла за объединение систем и ответ

Все КПВ изображены на рисунке ниже.

4) (5 баллов) Действительно (см. рис. и аналитические уравнения КПВ), при абсолютной мобильности ресурсов могут быть получены все точки производственного множества случаев с ограниченной мобильностью ресурсов и без мобильности. Действительно, все точки производственного множества случая немобильных ресурсов могут быть реализованы при частично мобильных и абсолютно мобильных ресурсах. За этими результатами стоит следующая экономическая интуиция. Во-первых, при наличии издержек миграции потерянная часть рабочей силы могла бы при отсутствии издержек использоваться для производства дополнительных товаров. Поэтому наличие издержек миграции ухудшает положение. Во-вторых, наличие возможности миграции, пусть и с издержками, не ухудшает положение по сравнению с отсутствием такой возможности.

(a) 3 балла за верный и обоснованный ответ на один из вопросов

(b) 5 баллов за верный и обоснованный ответ на оба вопроса (эти баллы не суммируются)

Примечание:

За общие рассуждения (о полезности миграции и т.д.), которые не показывали возможность реализации всех вариантов одной КПВ при другой КПВ, баллы не ставились