Задача 3 ОЧ-2015 (11 класс)
В стране Файтклабии производится один единственный товар – мыло. Только две фирмы имеют лицензии на мыловарение в стране: фирма N использует производственную функцию Y_N=L_N^{\alpha}, в то время как производственная функция фирмы T имеет вид Y_T=2L_T^{\alpha} , где L_i – количество рабочих, работающих на фирме i, Y_i – количество мыла, производимого фирмой i за год (i=N,T). Общее количество рабочих в экономике составляет 500 человек. Вас просят помочь правительству страны в принятии мер по повышению эффективности экономики страны.
1. Сколько человек должны работать на каждом предприятии, чтобы выпуск мыла в стране был максимальным, если \alpha=2 ?
2. Сколько человек должны работать на каждом предприятии, чтобы выпуск мыла в стране был максимальным, если \alpha=0,5 ?
3. Предположим, что правительство страны не знает, которая из двух фирм N и T. Поэтому вместо того, чтобы самому распределить трудовые ресурсы между предприятиями, государство решает положиться на "невидимую руку рынка". Предполагая, что \alpha=0,5 и каждая фирма воспринимает цену мыла и заработную плату заданными, найдите равновесное распределение работников между двумя фирмами, а также отношение цены мыла к заработной плате. Сравните выпуск мыла при распределении ресурсов правительством и выпуск мыла в рыночном равновесии.
4. При каких обстоятельствах распределение ресурсов между фирмами может оказаться неэффективным в реальной экономике? Назовите как можно больше причин. Под эффективностью в этом случае понимается эффективное распределение ресурсов, т.е. распределение, максимизирующее суммарный объем производства мыла в экономике.
5. Предположим, что правительство Файтклабии по-прежнему не умеет различать фирмы N и T, более того, знает лишь, что их производственные функции имеют вид Y_i=A_iL_i^{\alpha}, где i=N,T,0<\alpha<1 (\alpha одинаковая для обеих фирм), а производительности A_N и A_T правительству неизвестны. В своих бюджетных декларациях фирмы честно указывают лишь количество рабочих и количество произведенного мыла. Может ли правительство определить, является ли распределение ресурсов в экономике эффективным, используя лишь эту имеющуюся у него информацию?
1. В этом случае фирмы работают с возрастающей отдачей от масштаба. Соответственно выгодно сконцентрировать все трудовые ресурсы на одном предприятии. Так как производительность фирмы T выше, оптимальное распределение ресурсов L_N=0; L_T=500. Более формально, предельный продукт труда на втором предприятии выше для всех значений L_T , чем предельный продукт труда первой фирмы.
2. В этом случае обе фирмы используют технологии с убывающей отдачей от масштаба, а потому максимальный выпуск мыла достигается, когда обе фирмы нанимают положительное количество работников. Формально задача имеет вид:
\max_{0 < L_N < 500} \left\{ \sqrt{L_N} + 2 \sqrt{500 - L_N} \right\}
Отсюда находим L_N=100; L_T=400.
3. Обозначим цену мыла через p, а заработную плату в экономике – через w. Тогда задача фирмы N имеет вид:
\max_{L_N} \left\{ p \sqrt{L_N - w L_N} \right\}
Условие оптимальности можно интерпретировать как спрос фирмы на труд:
L_N = 0.25 \left(\frac{p}{w}\right)^2
Аналогично для второй фирмы получаем L_T = \left(\frac{p}{w}\right)^2.
Далее используем условие равенства спроса и предложения на рынке труда:
L_N + L_T = 1,25 \left(\frac{p}{w}\right)^2 = 500.
Таким образом, в рыночном равновесии p/w=20, L_N=100, L_T=400. Так как распределение ресурсов в равновесии такое же, как в пункте 2, производство мыла максимизируется без вмешательства правительства. В этом и состоит эффект «невидимой руки рынка» Адама Смита.
4. В реальной экономике существует множество причин, по которым распределение ресурсов может быть субоптимальным. Некоторые примеры:
(a) рыночная власть фирм (как на рынке товара, так и на рынке факторов производства): крупным фирмам может быть выгодно занижать объем производства по сравнению с оптимальным уровнем, чтобы сбить цены на факторы производства и повысить цену на свою продукцию.
(b) несовершенные рынки капитала мешают растущим фирмам занимать достаточное количество ресурсов для развития. Это, в свою очередь, может быть связано с асимметричной информацией (кредиторы имеют лишь приближенное представление о состоянии дел фирмы-заёмщика) и ограниченной ответственностью фирм (если долги слишком велики, фирма всегда может объявить о банкротстве).
(c) несовершенные рынки труда: поиск подходящих вакансий занимает у работников много времени, а поиск качественных работников требует дополнительных расходов от фирм.
Таким образом, количество нанятых работников может оказаться ниже оптимального значения.
(d) изменение физического запаса капитала и количества работников на фирме может потребовать дополнительных издержек от фирмы. Из-за этого объем используемых факторов производства может меняться с лагом после изменения производительности фирмы, что приводит к субоптимальному распределению ресурсов.
(e) различные налоги способны искажать решения фирм о количестве нанимаемых работников, инвестициях в капитал и объемах производства.
(f) коррупция и связи фирм с государственными структурами могут создавать неравные условия, что также искажает распределение ресурсов между фирмами.
(g) наличие внешних эффектов
(h) фирмы могут не максимизировать прибыль
5. Обобщая задачу из пункта 2, получаем:
\max\limits_{L_N} \left\{ A_N L_N^{\alpha} + A_T (500 - L_N)^{\alpha} \right\}
Условие оптимального распределения ресурсов:
\alpha A_N L_N^{\alpha - 1} = \alpha A_T (500 - L_N)^{\alpha - 1}
которое можно переписать как
\frac{Y_N}{L_N} = \frac{Y_T}{L_T}
Это условие вместе с ограничением L_N+L_T=500 определяет распределение ресурсов в экономике. Поскольку второе условие всегда выполнено, правительству, чтобы понять, эффективно ли распределение ресурсов в экономике, достаточно проверить, что средний продукт равен на двух фирмах.