Задание 15. МЭ ВСоШ 2024 (11 класс)
Компания «По краешку» – монополист на рынке пошива одежды, спрос на её футболки описывается функцией P=24-x, где P – цена футболки, а x – количество проданных футболок. В свою очередь, компания «По краешку» является единственным покупателем ткани у компании «С миру по ниточке», которая также является единственной на рынке компанией. Сначала «С миру по ниточке» устанавливает цену на свою ткань, а потом продаёт компании «По краешку» любой объём ткани, который она будет готова приобрести. Издержки на производство «С миру по ниточке» описываются функцией TC(y)=y^2, где y – количество произведённых метров ткани. «По краешку» необходимо 2 метра ткани для производства одной футболки. Обе компании максимизируют свою прибыль. По какой цене за 1 метр ткани компания «По краешку» будет закупать продукцию у компании «С миру по ниточке»?
Ответ: 10.
Решение:
Пусть p – цена метра ткани.
Найдём спрос «По краешку» на ткань «С миру по ниточке».
Прибыль компании «По краешку» в зависимости от количества проданных футболок: PR=(24-x)x-2px=(24-2p)x-x^2
Парабола, ветви вниз, максимум в вершине
x = \frac{24 - 2p}{2} = 12 - p
Тогда «По краешку» будет закупать 2x метров ткани, спрос
y=2x=2(10-p)
p = 12 - \frac{y}{2}
Прибыль компании «С миру по ниточке»:
PR = \left( 12 - \frac{y}{2} \right) y - y^2 = 12y - 1{,}5y^2
y = \frac{12}{2 \cdot 1{,}5} = \frac{12}{3} = 4
Тогда цена продажи ткани:
p = 12 - \frac{y}{2} = 12 - 2 = 10
За верный ответ – 8 баллов.