Два завода
Компания-монополист владеет двумя заводами, один из которых находится в регионе A, а другой – в регионе B. Функции издержек заводов при любом объёме выпуска имеют вид
TC_A(q_A) = \frac{q_A^2}{2}, \quad TC_B(q_B) = 100q_B + \frac{q_B^2}{2}.
В настоящее время между регионами нет прямого сообщения, компания имеет возможность продавать товар только в том регионе, где он был произведен, а потребители товара приобретают его только в своем регионе. Спрос на продукцию в регионе A представлен функцией
P_A(q_A) = 300 - q_A,
а в регионе B:
P_B(q_B) = 500 - \frac{q_B}{2}.
(a) (6 баллов) Сколько товара и по какой цене в каждом регионе будет продавать монополист, максимизирующий свою прибыль?
(b) (19 баллов) Предположим теперь, что между регионами открылось прямое автомобильное сообщение. Товар можно свободно перевозить. Потребители теперь тоже могут перемещаться между регионами и покупать товар там, где он дешевле, если цены разные. Если цены одинаковые, потребитель покупает товар в своем регионе. Определите новые объёмы производства и потребления в каждом из двух регионах. Увеличится ли прибыль монополиста по сравнению с пунктом (a)?
(a) Подставляя данные из задачи в функцию прибыли монополиста отдельно для каждого региона (так как каждый завод обеспечивает товарами свой регион) и максимизируя прибыль монополиста, получим объём выпуска и цену в каждом регионе.
В регионе A:
\Pi_A = P_A(q_A)q_A - TC_A(q_A) = (300 - q_A)q_A - \frac{q_A^2}{2} = 300q_A - q_A^2 - \frac{q_A^2}{2} = 300q_A - 1.5 q_A^2.
Аналогично в регионе B:
\Pi_B = \left(500 - \frac{q_B}{2}\right)q_B - \left(100q_B + \frac{q_B^2}{2}\right) = 400q_B - q_B^2.
Заметим, что для каждого из регионов график прибыли относительно объёма выпускаемой продукции, - парабола с ветвями вниз, то есть максимум достигается при объёмах и ценах:
q_A = 100, \quad P_A = 200,
q_B = 200, \quad P_B = 400.
В регионе A монополист продаёт 100 единиц товара по цене 200. В регионе B монополист продаёт 200 единиц товара по цене 400.
(b) Условие «Потребители теперь тоже могут перемещаться между регионами и покупать товар там, где он дешевле, если цены разные», означает, что монополист встречается с совокупным спросом на свою продукцию и товар в обоих регионах продаётся по одинаковой цене.
Найдём функцию спроса в этом случае. Обратим внимание, что в регионе A потребители согласны покупать товар по цене ниже 300, в регионе B – при цене ниже 500. Прямые функции спроса q(P) в регионах имеют вид:
q_A(P) = 300 - P_A, \quad q_B(P_B) = 1000 - 2P_B.
Совокупная функция спроса имеет вид:
Q(P) = 1000 - 2P, \quad 1300 - 3P, \quad если \, P < 300, \, или \, обратная функция спроса \, P(Q) = 500 - Q/2, если \, Q \leq 400,
и
P(Q) = (1300 - Q)/3, если \, Q > 400.
Так как монополист может покупать товар без дополнительных затрат перевозить товар из одного региона в другой, то он будет распределять производство товара между заводами наиболее выгодным образом: любой объём товара он будет стараться произвести с наименьшими издержками. Если всего ему нужно произвести Q единиц товара, то на заводе A он произведёт количество q_A, а на заводе B – количество q_B. Тогда совокупные издержки монополиста можно записать в виде:
TC(q_A + q_B) = \frac{q_A^2}{2} + 100q_B + \frac{q_B^2}{2} = \frac{(Q - q_B)^2}{2} + 100q_B + \frac{q_B^2}{2}, \quad где \, q_A = Q - q_B.
Относительно переменной q_B график функции представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх, минимум функция достигает в вершине параболы в точке q_B = \frac{Q}{2} - 50.
Поэтому, если на заводе B производится положительный объем продукции, что возможно только при Q > 100, то q_B = \frac{Q}{2} - 50, иначе, при Q \leq 100 весь объем продукции производится только на заводе A.
Действительно, если Q = q_A + q_B \leq 100 и q_B > 0, то q_B < 100, тогда
TC(q_A + q_B) = \frac{q_A^2}{2} + 100q_B + \frac{q_B^2}{2} = \frac{(Q - q_B)^2}{2} + 100q_B + \frac{q_B^2}{2} = \frac{1}{2}\left[(Q - q_B)^2 + 2 \cdot 100q_B + q_B^2\right].
То есть, издержки монополиста при Q \leq 100 будут меньше, если он откажется от производства на заводе в регионе B и весь объем производит на заводе в регионе A.
Если же Q > 100, то на заводе в регионе A производится q_A = \frac{Q}{2} + 50, а остаточный объем в размере q_B = \frac{Q}{2} - 50 будет произведен на заводе в регионе B.
Таким образом, функция издержек монополиста, который производит товар с минимальными затратами, будет иметь вид:
TC(Q) = \begin{cases} \frac{(\frac{Q}{2} + 50)^2}{2} + 100\left(\frac{Q}{2} - 50\right) = \frac{Q^2}{2}, & Q \leq 100 \\ \frac{Q^2}{4} + 50Q - 2500, & Q > 100 \end{cases}
При любом совокупном объёме выпуска, если выпускают продукцию оба завода, то предельные издержки производства на каждом из заводов должны быть равны. Иначе стоило бы перебросить часть произведённой продукции на тот завод, где предельные издержки производства меньше, сократив при этом совокупные издержки. Поэтому, если q_A > 0 и q_B > 0, то MC(q_A) = q_A = MC(q_B) = 100 + q_B. Так как q_A + q_B = Q, то получим:
q_A = \frac{Q}{2} + 50 \quad и \quad q_B = \frac{Q}{2} - 50,
что возможно только при Q > 100. Если же Q \leq 100, то выгоднее выпускать весь объём товара только на заводе A, поскольку предельные издержки производства на этом заводе будут не более 100, что меньше, чем на заводе B.
Теперь найдём, какое количество товара и его цена будет максимизировать прибыль монополиста, который продаёт товар по единой цене на двух рынках, распределяя выпуски между заводами. Запишем выражение для прибыли монополиста с учётом всех ограничений:
\Pi = \begin{cases} (500 - \frac{Q}{2})Q, & Q \leq 100 \\ (500 - \frac{Q}{2})Q - 100\left(\frac{Q}{2} - 50\right)^2, & 100 < Q \leq 400 \\ (1300 - Q) * Q - \left(\frac{Q}{2} - 50\right)^2, & Q > 400 \end{cases}
На каждом интервале по Q график функции прибыли представляет собой параболу, ветви которой направлены вниз, максимум достигается в вершине параболы.
Прибыль на первом интервале: \Pi = (500 - \frac{Q}{2})Q - \frac{Q^2}{2}, максимум при Q = 250, но найденная точка не принадлежит интервалу Q \leq 100.
Прибыль на третьем интервале: \Pi = \frac{1300 - Q}{3} * Q - \frac{(Q/2 + 50)^2}{2} - 100 \cdot \frac{(Q/2 - 50)^2}{2}, максимум при Q = 153, (3), но найденная точка не принадлежит интервалу Q > 400.
Максимум прибыли достигается на интервале 100 < Q \leq 400 при Q = 300, P = 350. Причем товар будет продаваться только в регионе В, но часть этого объема производится в регионе А, а именно, в каждом регионе будет произведено: q_A = \frac{Q}{2} + 50 = 200, q_B = \frac{Q}{2} - 50 = 100.
Посчитаем и сравним прибыль монополиста в случае наличия (б) и отсутствия (а) транспортного сообщения между регионами:
\Pi_B = 350 \cdot 300 - 2002/2 - 100 \cdot 100 - 102/2 = 105000 - 20000 - 10000 - 5000 = 70000,
\Pi(a) = \Pi_A + \Pi_B = (200 \cdot 100 - 1002/2) + (400 \cdot 200 - 100 \cdot 200 - 2002/2) = 15000 + 40000 = 55000.
Прибыль в случае наличия транспортного сообщения оказалась выше.
Заметим, что с одной стороны после открытия сообщения монополист лишается возможности продавать товар в каждом регионе по различной цене, то есть возможности проводить ценовую дискриминацию между регионами, что, как правило, снижает его прибыль. Например, в данном случае монополист лишается рынка региона А. С другой стороны, у монополиста появляется возможность эффективнее распределять производство товара между заводами, что приводит к снижению издержек производства при том же объеме выпускаемой продукции, тем самым повышая прибыль монополиста. Таким образом, разнонаправленно действуют два эффекта, результат которых заранее не может быть определен.