S059
Однажды наступил день, когда король Людовик N -й получил в наследство престол от своего предшественника, Людовика под номером N-1. Рассеянно выслушав доклад министра финансов, Людовик N -й понял следующее: вся денежная масса в стране состоит из бумажных денег, эмитированных государством (другими словами, денежная масса всегда равна денежной базе). При этом весь ежегодный прирост денежной массы происходит за счет расходов двора на проведение праздников, балов-маскарадов, торжественных приемов, банкетов и т.п. Предшественник Людовика N -го ежегодно увеличивал расходы двора (и, соответственно, эмиссию) на 1 миллион франков по отношению к предыдущему году. Предварительно эта тенденция заложена в планы министерства финансов и на последующие годы.
Однако, предупредил министр финансов, бесконечно так продолжаться не может. Если годовая эмиссия превысит критический порог – 2\% от денежной массы на начало года, то одно лишь это обстоятельство может стать причиной серьезных социальных потрясений – например, экономического кризиса, крестьянских бунтов и даже буржуазной революции.
На это король сказал: «Предположим, тенденция роста расходов сохранится. Каким будет прирост денежной массы, скажем, на 50 -м году моего правления?» Министр финансов ответил: «Если ничего не произойдет, то, согласно моим формулам, размер эмиссии в течение 50 -го года достигнет 70 миллионов франков, и это составит ровно 2\% по отношению к денежной массе на начало 50 -го года». «Ну, вот – сказал король. – Стоит ли беспокоиться? А если в дальнейшем расходы зашкалят за 2\%, то пусть с этой проблемой разбирается мой престолонаследник – Людовик под номером N+1 ».
Согласитесь ли Вы с тем, что Людовику N -му не о чем беспокоиться? Существует ли вообще год, когда размер эмиссии «зашкалит» за 2\% от денежной массы на начало года?
Пусть M – денежная масса в начале первого года правления Людовика N -го, x – расходы двора (и, соответственно, эмиссия, т.е. прирост денежной массы) в течение первого года его правления. Тогда (x+t-1) – прирост денежной массы в течение t -го года правления.
Денежная масса на начало t -го года (для t>3 ): M_t = M + x + (x + 1) + \dots + (x + t - 2) = M + \frac{x + (x + t - 2)}{2} \times (t - 1).
Отношение прироста денежной массы в течение t -го года к размеру денежной массы на начало t -го года: \frac{x + t - 1}{M + (x - 1 + 0,5t)(t - 1)}. Известно, что в 50 -м году прирост денежной массы равен 70 млн. Т.е. x+t-1=x+50-1=70. \ x=21.
Тогда для 50 -го года: \frac{x + t - 1}{M + (x - 1 + 0,5t)(t - 1)} = \frac{21 + 50 - 1}{M + (21 - 1 + 0,5 \times 50)(50 - 1)} = 0,02. \quad \frac{70}{M+2205}=0,02. \quad M=1295.
А теперь определим годы, в которых отношение прироста денежной массы к ее уровню на начало года равно 0,02.
\frac{x + t - 1}{M + (x - 1 + 0,5t)(t - 1)} = \frac{21 + t - 1}{1295 + (21 - 1 + 0,5t)(t - 1)} = \frac{20 + t}{1275 + 19,5t + 0,5t^2} = 0,02.
0,01t^2 – 0,61t + 5,5 = 0. \quad t_1 = 50, \ t_2 = 11. Значение t_1=50 нам уже известно из условия. Появление значения t_2=11 дает основание предполагать, что функция Y = \frac{20 + t}{1275 + 19,5t + 0,5t^2}. имеет на интервале t\in[11;50] либо максимум, либо минимум.
Y' = \frac{1275 + 19,5t + 0,5t^2 - (20 + t)(19,5 + t)}{(1275 + 19,5t + 0,5t^2)^2} = \frac{-0,5t^2 - 20t + 885}{(1275 + 19,5t + 0,5t^2)^2} = 0. \quad – 0,5t^2 – 20t + 885 = 0. \quad t_1 = – 66,58, \ t_2 = 26,583.
К периоду правления Людовика N -го относится только значение t_2=26,583. При этом значении Y=0,0217. То есть с 12 -го года правления Людовика N -го по 49 -й год включительно размер эмиссии «зашкаливает» за безопасные 2\%.
Ответ. Размер эмиссии превышает 2\% от денежной массы на начало года для каждого года начиная с 12 -го и заканчивая 49 -м.