а) Полезность i-того школьника: U_i(x) = 200x_i - 100x_i^2 - \frac{P_z x_i^2}{400}. Заметим, что данная функция является параболой с ветвями вниз, потому максимум — в вершине. x_i(P_z) = 1 - \frac{P_z}{400}. Это оптмальное потребление одного из школьников. Соответственно, общая функция потребления водки выглядит как X(P_z) = 200 - \frac{P_z}{2}, или P_z(X) = 400 - 2X. Прибыль магазина имеет вид: \pi(X) = 360X - 3X^2. Эта функция — парабола с ветвями вниз (максимум в вершине),

X^* = 60, x_i^* = 0.3, \pi = 10800, U_i = 9

Ответ: \pi = 10800, U_i = 9

б) С вероятностью 80% их уровень счастья будет равен U_i = -42, а с вероятностью 20% — U_i = 9.

Соответственно, ожидаемая прибыль (математическое ожидание) будет равна U_i^o = (-42) * 0.8 + (9 * 0.2) = -31.8

Ответ: U_i^o = -31.8

в) Заметим, что для потребления одной бутылки водки школьнику-москвичу необходимо купить две. Это значит, что x_c=0,5x_p, где x_c —количество потребленной водки, а x_p — купленной. Подставим это в функцию счастья и будем максимизировать ее (для москвичей). U_i^m(x_p) = 100x_p - 25x_p^2 - \frac{P_z x_p^2}{2}. Парабола в ветвями вниз — максимум в вершине. x_p^i = 2 - \frac{P_z}{200}, x_p^M = 200 - \frac{P_z}{2}. Функция спроса каждого жителя Замкадья (их сто человек) осталась неизменной, потому их спрос имеет вид X^Z = 100 - \frac{P_z}{4} Общий спрос:

X = \begin{cases} 100 - \frac{1}{4}P_z, & \text{если } 400 \geq P_z \geq 200; \\ 300 - \frac{1}{4}P_z, & \text{если } 200 \geq P_z \geq 0. \end{cases}

Что аналогично:

P_z = \begin{cases} 400 - 4X, & \text{если } 50 \geq X \geq 0; \\ 240 - \frac{5}{4}X, & \text{если } 300 \geq X \geq 50. \end{cases}

Прибыли равны:

\pi_1 = 360X - X^2, \text{если } 50 \geq X \geq 0; \\ \pi_2 = 200X - 5X^2, \text{если } 300 \geq X \geq 50.

Обе функции являются параболами с ветвями вниз, оттого их максимумы находятся в вершинах:

X_1^* = 36, \quad X_2^* = \frac{500}{9}

Подставим данные значения в функции прибыли:

\pi_1 = 6480; \quad \pi_2 = \frac{50000}{9}

6840 > \frac{50000}{9}, \text{ поэтому } X^* = 36, \quad P_z = 256, \quad X_M = 0, \quad T_z = 0, \quad U_i^M = 0, \quad U_i^Z = 12.96.

\text{Ответ: } X^* = 36, \quad P_z = 0, \quad U_i^M = 0, \quad U_i^Z = 12.96.

г) Начнём с того, что для потребления 1 бутылки Настойки школьнику нужно будет купить 1,25 бутылок. Из этого мы получаем соотношение y_c=1,25y_p, где y_c — количество потребленной настойки, а y_p — купленной. Для того, чтобы вывести новый спрос (желание людей покупать по какой-либо цене), подставим вышеуказанное соотношение купленного к потребленному в данную нам функцию, выражающую уровень счастья школьников. U_i(y_p)=640y_c−64y^2_c−P_yy_p. Заметим, что данная функция является параболой с ветвями вниз, потому максимум находится в вершине. y_p = \frac{640 - P_z}{128}, соответственно Y_p = 1000 - \frac{25}{16} P_y, что аналогично P_y = 640 - \frac{16y_p}{P_z}.

Рассмотрим прибыль фирмы:

\pi = 640Y_p - \frac{16}{25}Y_p^2 - 100Y_p - 0.08Y_p^2, то есть

\pi = 540Y_p - \frac{18}{25}Y_p^2, данная функция — парабола с ветвями вниз, потому максимум в вершине.

Y_p^* = 375, \quad P_y = 400, \quad Y_c = 300, \quad T_z = 75.

Ответ: Y_p^* = 375, \quad P_y = 400, \quad Y_c = 300, \quad T_z = 75.