Побутыльный налог
Вороново, апрель 2117. Город федерального значения Москва занимает 95% территории России, остальная территория именуется Замкадьем. Для участия во всероссийской олимпиаде по экономике каждый год в это чудесное время в пансионат, находящийся в вышеуказанном месте, съезжаются 200 сильнейших школьников-экономистов, при этом, 100 из них — москвичи. Школьники-экономисты ведут весьма разгульный образ жизни (кроме моментов, когда им предстоит писать туры), потому потребляют алкоголь в некоторых количествах. Известно, что уровень счастья каждого школьника задается функцией: U(x)=200x−100x^2−\frac{Е_x}{2}, где x — количество потребленной водки (в бутылках), а E_x — сумма денег, затраченная на покупку данного эликсира. Данная функция известна всем обитателям Вороново. Бутылки водки считать бесконечно делимыми (ведь ею можно делиться).
а) В поселке имеется одинокий магазин, в котором продается этот напиток. Функция издержек магазина имеет вид: TC(x)=x^2+40x. Найдите прибыль магазина и уровень счастья каждого школьника.
б) Легкая жизнь осталась позади. Информация о пьющих участниках олимпиады стала известна многим. Команда Москвы крайне раздосадована происходящим, потому отправляет в Вороново своего лучшего сопровождающего: Вёлеба Йегреса. Известно, что г-н Вёлеб имеет возможность отличать москвича от не-москвича. Также, мы знаем, что трезвость жителей Замкадья его совершенно не волнует, а трезвость каждого московского школьника — его основная задача. В связи с этим, у каждого московского школьника, попавшегося на транспортировке и хранении спиртосодержащих напитков, Йегрес изымает весь алкоголь, принадлежащий ребёнку. Считайте, что вероятность нахождения Йегресом составляет 80%, и после изъятия счастье школьника равно U_M=−\frac{Е_x}{2}. Найдите ожидаемый уровень счастья каждого участника олимпиады из Москвы. (Поведение москвичей остается неизменным)
в) Москвичи, недовольные этим фактом, решили искать путь спасения. На помощь им пришли сомнительные личности, которые предложили хранить и перевозить водку у себя. Однако, они несут риски, связанные с появлением разгневанного г-на Вёлеба, так что они забирают половину полученной ими водки (школьники об этом прекрасно знают). Найдите цену водки в новых условиях, количество водки, потребляемое москвичами и обитателями Замкадья (суммарно), уровень счастья каждого из них и налоговые сборы сомнительных личностей.
г) Водка приелась всем, потому школьники нашли в магазине новый напиток, эликсир богов — Клюквенную Настойку. Более низкая крепость настойки и божественное происхождение напитка привело к тому, что уровень счастья каждого школьника задан уже иной функцией: U(y)=800y−100y^2−Е_y, где y — количество потребленной Настойки (в бутылках), а E_y — сумма денег, затраченная на покупку нектара богов. Данная функция известна всем обитателям Вороново. Бутылки Настойки считать бесконечно делимыми (ведь ею можно делиться). Настойку продает всё тот же магазин, но функция издержек задана уже иначе: TC(y)=0,08y^2+100y. Функция имеет именно такой вид, потому что находить клюкву в Вороновских лесах достаточно сложно (ведь леса усеяны окурками нервных олимпиадников), а производить Настойку — нет. Однако, не всё так радужно. В Вороново завёлся некий Фёдор Данилов, который может безошибочно определить человека, у которого есть настойка или нет. Эта информация становится известна ему с момента покупки красного эликсира. Задачей Фёдора является абсолютная трезвость участников, но он, как опытный экономист, забирает 20% купленных бутылок Клюквы. Найдите потребление Клюквы в Вороново, установившуюся цену и сборы г-на Данилова (в бутылках).
NB: события, упомянутые в задаче, являются вымышленными, а совпадения с реальными людьми — случайны.
UPD: в пункте г) была немного изменена функция издержек (вместо 2y^2 теперь указано 0,08y^2 ).
а) Полезность i-того школьника: U_i(x) = 200x_i - 100x_i^2 - \frac{P_z x_i^2}{400}. Заметим, что данная функция является параболой с ветвями вниз, потому максимум — в вершине. x_i(P_z) = 1 - \frac{P_z}{400}. Это оптмальное потребление одного из школьников. Соответственно, общая функция потребления водки выглядит как X(P_z) = 200 - \frac{P_z}{2}, или P_z(X) = 400 - 2X. Прибыль магазина имеет вид: \pi(X) = 360X - 3X^2. Эта функция — парабола с ветвями вниз (максимум в вершине),
X^* = 60, x_i^* = 0.3, \pi = 10800, U_i = 9
Ответ: \pi = 10800, U_i = 9
б) С вероятностью 80% их уровень счастья будет равен U_i = -42, а с вероятностью 20% — U_i = 9.
Соответственно, ожидаемая прибыль (математическое ожидание) будет равна U_i^o = (-42) * 0.8 + (9 * 0.2) = -31.8
Ответ: U_i^o = -31.8
в) Заметим, что для потребления одной бутылки водки школьнику-москвичу необходимо купить две. Это значит, что x_c=0,5x_p, где x_c —количество потребленной водки, а x_p — купленной. Подставим это в функцию счастья и будем максимизировать ее (для москвичей). U_i^m(x_p) = 100x_p - 25x_p^2 - \frac{P_z x_p^2}{2}. Парабола в ветвями вниз — максимум в вершине. x_p^i = 2 - \frac{P_z}{200}, x_p^M = 200 - \frac{P_z}{2}. Функция спроса каждого жителя Замкадья (их сто человек) осталась неизменной, потому их спрос имеет вид X^Z = 100 - \frac{P_z}{4} Общий спрос:
X = \begin{cases} 100 - \frac{1}{4}P_z, & \text{если } 400 \geq P_z \geq 200; \\ 300 - \frac{1}{4}P_z, & \text{если } 200 \geq P_z \geq 0. \end{cases}
Что аналогично:
P_z = \begin{cases} 400 - 4X, & \text{если } 50 \geq X \geq 0; \\ 240 - \frac{5}{4}X, & \text{если } 300 \geq X \geq 50. \end{cases}
Прибыли равны:
\pi_1 = 360X - X^2, \text{если } 50 \geq X \geq 0; \\ \pi_2 = 200X - 5X^2, \text{если } 300 \geq X \geq 50.
Обе функции являются параболами с ветвями вниз, оттого их максимумы находятся в вершинах:
X_1^* = 36, \quad X_2^* = \frac{500}{9}
Подставим данные значения в функции прибыли:
\pi_1 = 6480; \quad \pi_2 = \frac{50000}{9}
6840 > \frac{50000}{9}, \text{ поэтому } X^* = 36, \quad P_z = 256, \quad X_M = 0, \quad T_z = 0, \quad U_i^M = 0, \quad U_i^Z = 12.96.
\text{Ответ: } X^* = 36, \quad P_z = 0, \quad U_i^M = 0, \quad U_i^Z = 12.96.
г) Начнём с того, что для потребления 1 бутылки Настойки школьнику нужно будет купить 1,25 бутылок. Из этого мы получаем соотношение y_c=1,25y_p, где y_c — количество потребленной настойки, а y_p — купленной. Для того, чтобы вывести новый спрос (желание людей покупать по какой-либо цене), подставим вышеуказанное соотношение купленного к потребленному в данную нам функцию, выражающую уровень счастья школьников. U_i(y_p)=640y_c−64y^2_c−P_yy_p. Заметим, что данная функция является параболой с ветвями вниз, потому максимум находится в вершине. y_p = \frac{640 - P_z}{128}, соответственно Y_p = 1000 - \frac{25}{16} P_y, что аналогично P_y = 640 - \frac{16y_p}{P_z}.
Рассмотрим прибыль фирмы:
\pi = 640Y_p - \frac{16}{25}Y_p^2 - 100Y_p - 0.08Y_p^2, то есть
\pi = 540Y_p - \frac{18}{25}Y_p^2, данная функция — парабола с ветвями вниз, потому максимум в вершине.
Y_p^* = 375, \quad P_y = 400, \quad Y_c = 300, \quad T_z = 75.
Ответ: Y_p^* = 375, \quad P_y = 400, \quad Y_c = 300, \quad T_z = 75.