Шоко-лиго-полис

В городке Шоко-лиго-полис старейшие Кондитерские дома бережно хранят семейные рецепты приготовления шоколада. Несмотря на различия в рецептах функция издержек у всех производителей шоколада одинакова: , где   – выпуск фирмы .

Население Шоко-лиго-полиса составляет человек. Индивидуальные функции полезности у жителей городка одинаковы и имеют вид , где – плитки съедаемого шоколада за день, – прочие товары, цена на которые нормирована до единицы, т.е. .

В городке всего кондитерских. Все они соревнуются по выпуску, желая максимизировать свою прибыль.

На одном из собраний Шоколадной Гильдии кондитеры решили организовать картель, предполагая, что это может увеличить их прибыль и защитит их от входа новых компаний на рынок. На собрании был принят устав, согласно которому в рамках картеля фирмы обязаны установить одинаковые объёмы выпуска на уровне, при котором прибыль картеля достигала бы своего максимума. Если со временем хоть одна компания отклонится от принятых договорённостей, картель расформировывается.

В Шоко-лиго-полисе фактор дисконтирования равен  .

а) Покажите, что чем больше кондитерских магазинов на рынке, тем менее перспективна идея организации картеля. Правы ли участники собрания, что картель увеличил бы их прибыль? Выведите функцию , изобразите её график.

б) Как изменится прибыль компаний и общественное благосостояние с течением времени?

в) Предположим, что . Будет ли существовать картель? Производители шоколада нашли возможность установить барьер входа на рынок: каждая новая компания, пожелавшая постигать искусство приготовления шоколада, обязана закупить бесполезное и дорогостоящее оборудование у Шоколадной Гильдии на сумму . Объясните, предоставив необходимые вычисления, как это может помочь старейшим Кондитерским домам.