Если средние издержки фирмы постоянны и равны cc, то ее прибыль можно записать как \pi_t=q_t(P_t-c), такой записи мы будем придерживаться в течение всего решения.

Разберемся с единицами измерения. Чиновник требует платить 0,8\% от прибыли за каждую проданную тысячу бутылок. То есть, например, если прибыль в текущем году составит 500 тысяч рублей, то в последующие годы придется по 500*0,008 тысяч рублей за каждую тысячу бутылок, или, что то же самое, по по 500*0,008=500/125 рублей за каждую бутылку. Таким образом, средние издержки магазина, начиная с первого года, увеличатся на \pi_0/125 рублей.

Пусть \pi_0 – прибыль текущего года. Тогда функция суммарной прибыли (здесь и далее – в тысячах рублей) за 6 лет имеет вид

\pi_0 + \underbrace{(100 - P_1) \left( P_1 - 50 - \frac{\pi_0}{125} \right)}_{\pi_1} + \underbrace{(100 - P_2) \left( P_2 - 50 - \frac{\pi_0}{125} \right)}_{\pi_2} + \dots + \underbrace{(100 - P_5) \left( P_5 - 50 - \frac{\pi_0}{125} \right)}_{\pi_5}.

Если цена текущего года P_0 выбрана и \pi_0 определено, то все остальные прибыли – квадратичные параболы с ветвями вниз, причем одинаковые, не зависящие друг от друга и имеющие вершины в точках

P_t = \frac{100 + 50 + \pi_0 / 125}{2} = 75 + \frac{\pi_0}{250}, \quad \text{где } t \in \{1,2,3,4,5\}.

Тогда максимальное значение прибыли за пять последующих лет равно

\sum_{t=1}^{5} \pi_t = \pi_1 + \pi_2 + \pi_3 + \pi_4 + \pi_5 = 5\left(100 - 75 - \frac{\pi_0}{250}\right)\left(75 + \frac{\pi_0}{250} - 50 - \frac{\pi_0}{125}\right) = 5\left(25 - \frac{\pi_0}{250}\right)^2.

А суммарная прибыль за все годы составит

\Pi = \pi_0 + \sum_{t=1}^{5} \pi_t = \pi_0 + 5\left(25 - \frac{\pi_0}{250}\right)^2.

Посмотрим, чему может быть равна \pi_0. Функция \pi_0=(100-P_0)(P_0-50) – парабола с ветвями вниз, область значений которой простирается от -\infty до 625 (при P_0=75 ). Ограничение на величину убытков сокращает область допустимых значений \pi_0 до отрезка [-250;625].

Функция П, как нетрудно проверить, – парабола с ветвями вверх и вершиной в \pi_0=0. Чем дальше от вершины параболы (в любую сторону, так как она симметрична), тем больше ее значение, следовательно, \pi_0=625 приносит бОльшую суммарную прибыль, чем \pi_0=-250.

Отсюда нетрудно посчитать, что P_0=75, P_t=77,5, где t\in 1,...,5.