Ностальгия
В маленьком поселке где-то в центральной России на берегу живописной реки одиноко стоит магазин, продающий только клюквенную настойку (других магазинов в поселке нет). Несмотря на то, что настойка особенно популярна в конце лета, годовой спрос на нее всегда равен , где – цена бутылки в году , а – количество купленных бутылок в тысячах. Продавец настойки закупает ее у поставщика по цене рублей за бутылку и больше не несет никаких издержек.
Владелец магазина спокойно максимизировал прибыль, пока однажды накануне Нового года руководить поселком не был назначен новый чиновник, срок полномочий которого составляет ровно лет. Этот чиновник нашел нарушения в работе магазина, но вместо того чтобы заставить владельца их устранить, потребовал денег:
— В течение года я буду смотреть, как ты будешь работать и какую прибыль получишь, а потом (от до ) я тебя контролировать перестану, а ты мне за это будешь отдавать каждый год всего от величины за каждую проданную тысячу бутылок.
Владелец магазина загрустил, с ностальгией вспомнив о тех временах, когда он мог спокойно продавать настойку. Но потом ему пришла в голову блестящая идея: если получить в отрицательную прибыль, то тогда чиновнику в соответствии с уговором еще пять лет придется платить самому! (Известно, что этот чиновник – человек слова.) С другой стороны, нести большие убытки тоже не хочется, тем более что в кредит на текущий год ему точно никто больше тысяч рублей не даст (а значит, убытки не могут быть больше тысяч рублей).
Считайте, что владелец магазина может менять цену только в начале каждого года. Какие цены ему нужно установить в каждом из шести лет от до , чтобы максимизировать суммарную прибыль за все годы (без дисконтирования)?
Если средние издержки фирмы постоянны и равны cc, то ее прибыль можно записать как , такой записи мы будем придерживаться в течение всего решения.
Разберемся с единицами измерения. Чиновник требует платить от прибыли за каждую проданную тысячу бутылок. То есть, например, если прибыль в текущем году составит тысяч рублей, то в последующие годы придется по тысяч рублей за каждую тысячу бутылок, или, что то же самое, по по рублей за каждую бутылку. Таким образом, средние издержки магазина, начиная с первого года, увеличатся на рублей.
Пусть – прибыль текущего года. Тогда функция суммарной прибыли (здесь и далее – в тысячах рублей) за лет имеет вид
Если цена текущего года выбрана и определено, то все остальные прибыли – квадратичные параболы с ветвями вниз, причем одинаковые, не зависящие друг от друга и имеющие вершины в точках
Тогда максимальное значение прибыли за пять последующих лет равно
А суммарная прибыль за все годы составит
Посмотрим, чему может быть равна . Функция – парабола с ветвями вниз, область значений которой простирается от до (при ). Ограничение на величину убытков сокращает область допустимых значений до отрезка .
Функция , как нетрудно проверить, – парабола с ветвями вверх и вершиной в . Чем дальше от вершины параболы (в любую сторону, так как она симметрична), тем больше ее значение, следовательно, приносит бОльшую суммарную прибыль, чем .
Отсюда нетрудно посчитать, что где