а) Фирма максимизирует чистую прибыль:

\pi_{\text{net}}(q) = (1 - t)\pi_0(q) = (1 - 0.2)((15 - q)q - 5q) = 0.8(10q - q^2) \rightarrow \max_{q > 0}.

Функция прибыли является квадратичной, ветви параболы направлены вниз, вершина на точке q^* = 5 ; прибыль до вычета налога составит \pi_0 = 25 ; чистая прибыль (после вычета налога) составит \pi_{\text{net}} = 20 .

Ответ: \pi_{\text{net}} = 20 .

б) Фирма заработает прибыль \pi_0(q) , затем задекларирует прибыль на уровне \pi_0(q) - x, после чего заплатит с этой величины налог, равный t(\pi_0(q) - x) , и ещё неофициальным образом оплатит услуги по уходу от налога, 0.01x^2 . Таким образом, целевая функция фирмы примет вид

\pi_{\text{net}}(q,x) = \pi_0(q) - t(\pi_0(q) - x) + tx - 0.01x^2 = 0.8(10q - q^2) + 0.2x - 0.01x^2.

Можно увидеть, что чистая прибыль является суммой двух независимых квадратичных функций, ветви парабол направлены вниз, вершины в точках q^* = 5 (выпуск по сравнению с пунктом а) не меняется) и x^* = 10 . «Настоящая» чистая прибыль фирмы составит \pi_{\text{net}} = 21 .

Ответ: \pi_{\text{net}} = 21.

в) Аналогично пункту б), целевая функция фирмы имеет вид:

\pi_{\text{net}}(q,x) = (1 - t)\pi_0(q) + tx - 0,01x^2 = (1 - t)(10q - q^2) + tx - 0,01x^2.

Можно увидеть, что чистая прибыль является суммой двух независимых квадратичных парабол с ветвями вниз и вершинами в точках q^* = 5 (выпуск по сравнению с пунктом а) не меняется) и x^* = 50t . (Строго говоря, x^* = \min \{50t; \pi_0(q^*) \}.

Налоговые поступления (доля t от декларируемой прибыли), если они больше нуля, составят:

T(t) = t(\pi_0(q) - x) = t(\pi_0(5) - x^*(t)) = t(25 - 50t).

Государство максимизирует эту функцию по t \in [0; 1] . Функция T(t) квадратична, ветви параболы направлены вниз, вершина в точке t^* = 0,25 .

Ответ: t^* = 25 \% .