а) Предъявим пример цепочки обменов, с помощью которой можно получить прибыль. Это цепочка Р-Т-С-Р.

- 1000 рублей меняем на 5000 тенге (Р-Т);

- 5000 тенге меняем на 1000 сомов (Т-С);

- 1000 сомов меняем на 1052,63 рублей (С-Р).

Поскольку \frac{1000}{0,95} = 1052,63, действуя таким образом можно получить прибыль.

Примечание 1: если повторять эту цепочку много раз, то можно заработать еще большую прибыль, размер которой будет ограничен лишь капиталом банка. Для получения полного балла достаточно приведения **однократного** использования этой цепочки.

Примечание 2: Цепочка Р-Т-С-Р является в данном примере единственной прибыльной из четырех перечисленных в решении пункта б), но доказывать это не требуется.

Примечание 3: участник также может решить сначала пункт б) и затем сказать, что значение параметра а не удовлетворяет условию в пункте б), а значит, можно получить прибыль. Такое решение является полностью корректным и должно быть оценено на полный балл.

б) Решение требует понимания, что существует 4 цепочки обогащения в рублях:

1) Р-С-Р,

2) Р-Т-Р,

3) Р-С-Т-Р,

4) Р-Т-С-Р.

Запишем условия отсутствия прибыли в рублях для каждой цепочки:

- Р-С-Р: Каждый рубль мы меняем на \frac{1}{1,1} сомов, это количество сомов меняем на \frac{1}{a} рублей. Прибыли не будет, если \frac{1}{1,1a} \leq 1, т.е. a \geq 1,1.

- Р-Т-Р: Каждый рубль мы меняем на \frac{1}{0,2} тенге, это количество тенге меняем на \frac{1}{b} рублей. Прибыли не будет, если \frac{1}{0,2b} \leq 1, т.е. b \geq 5.

- Р-С-Т-Р: Каждый рубль мы меняем на \frac{1}{1,1} сомов, это количество сомов мы меняем на тенге, это количество тенге меняем на \frac{1}{b} рублей. Прибыли не будет, если \frac{1}{1,1 \cdot 5,1 \cdot b} \leq 1, т.е. b \geq 5 .

- Р-Т-С-Р: Каждый рубль мы меняем на \frac{1}{0,2} тенге, это количество тенге меняем на сомы, это количество сомов меняем на \frac{1}{a} рублей. Прибыли не будет, если \frac{1}{0,2 \cdot 5 \cdot a} \leq 1, т.е. a \geq 1,1.

Таким образом, решив систему неравенств, получаем: a \geq 1,1, b \geq 5.

Ответ: a \geq 1,1, b \geq 5.

Примечание 1: Возможно и более длинные цепочки операций, но любую такую длинную цепочку можно разложить на последовательность коротких цепочек 1)-4) (а также цепочек Т-С-Т, С-Т-С, которые не приносят прибыли), поэтому достаточно лишь верить, что не приносит прибыли ни одна из цепочек 1)-4). От участника не требуется приводить это рассуждение.

Примечание 2: условия, полученные в пункте б), называются условиями отсутствия арбитража. Арбитраж (в финансах) — возможность получения прибыли без риска за счет изменения цен, курсов и т.д. Условия отсутствия арбитража играют важную роль в экономическом и финансовом анализе.