Курсы трех валют
Банк «Жартрыба» производит обменные операции с тремя валютами — российским рублем (Р), казахстанским тенге (Т) и кыргызстанским сомом (С). Обменные курсы зависят от того, покупает ли у вас банк определенную валюту или продает ее. Таблица обменных курсов такова:
Обмен «Р на С» означает, что вы отдаете банку рубли, а банк выдает вам сомы, остальные обозначения аналогичны. Для простоты будем считать, что все валюты бесконечно делимы.
а) (6 баллов) Допустим, a=0,95; b=5,1. У Васи изначально есть 1 тыс. руб. Докажите, что Вася может, проводя обменные операции с банком по курсам из таблицы, получить положительную прибыль в рублях.
б) (14 баллов) При каких положительных значениях a и b Вася не сможет, проводя обменные операции с банком по курсам из таблицы, получить положительную прибыль в рублях?
а) Предъявим пример цепочки обменов, с помощью которой можно получить прибыль. Это цепочка Р-Т-С-Р.
- 1000 рублей меняем на 5000 тенге (Р-Т);
- 5000 тенге меняем на 1000 сомов (Т-С);
- 1000 сомов меняем на 1052,63 рублей (С-Р).
Поскольку \frac{1000}{0,95} = 1052,63, действуя таким образом можно получить прибыль.
Примечание 1: если повторять эту цепочку много раз, то можно заработать еще большую прибыль, размер которой будет ограничен лишь капиталом банка. Для получения полного балла достаточно приведения **однократного** использования этой цепочки.
Примечание 2: Цепочка Р-Т-С-Р является в данном примере единственной прибыльной из четырех перечисленных в решении пункта б), но доказывать это не требуется.
Примечание 3: участник также может решить сначала пункт б) и затем сказать, что значение параметра а не удовлетворяет условию в пункте б), а значит, можно получить прибыль. Такое решение является полностью корректным и должно быть оценено на полный балл.
б) Решение требует понимания, что существует 4 цепочки обогащения в рублях:
1) Р-С-Р,
2) Р-Т-Р,
3) Р-С-Т-Р,
4) Р-Т-С-Р.
Запишем условия отсутствия прибыли в рублях для каждой цепочки:
- Р-С-Р: Каждый рубль мы меняем на \frac{1}{1,1} сомов, это количество сомов меняем на \frac{1}{a} рублей. Прибыли не будет, если \frac{1}{1,1a} \leq 1, т.е. a \geq 1,1.
- Р-Т-Р: Каждый рубль мы меняем на \frac{1}{0,2} тенге, это количество тенге меняем на \frac{1}{b} рублей. Прибыли не будет, если \frac{1}{0,2b} \leq 1, т.е. b \geq 5.
- Р-С-Т-Р: Каждый рубль мы меняем на \frac{1}{1,1} сомов, это количество сомов мы меняем на тенге, это количество тенге меняем на \frac{1}{b} рублей. Прибыли не будет, если \frac{1}{1,1 \cdot 5,1 \cdot b} \leq 1, т.е. b \geq 5 .
- Р-Т-С-Р: Каждый рубль мы меняем на \frac{1}{0,2} тенге, это количество тенге меняем на сомы, это количество сомов меняем на \frac{1}{a} рублей. Прибыли не будет, если \frac{1}{0,2 \cdot 5 \cdot a} \leq 1, т.е. a \geq 1,1.
Таким образом, решив систему неравенств, получаем: a \geq 1,1, b \geq 5.
Ответ: a \geq 1,1, b \geq 5.
Примечание 1: Возможно и более длинные цепочки операций, но любую такую длинную цепочку можно разложить на последовательность коротких цепочек 1)-4) (а также цепочек Т-С-Т, С-Т-С, которые не приносят прибыли), поэтому достаточно лишь верить, что не приносит прибыли ни одна из цепочек 1)-4). От участника не требуется приводить это рассуждение.
Примечание 2: условия, полученные в пункте б), называются условиями отсутствия арбитража. Арбитраж (в финансах) — возможность получения прибыли без риска за счет изменения цен, курсов и т.д. Условия отсутствия арбитража играют важную роль в экономическом и финансовом анализе.