Поскольку функция полезности потребителя является функцией Кобба-Дугласа, то он максимизирует общую полезность при условии: P_1X_1=P_2X_2=P_3X_3.

X_2 = \frac{P_1}{P_2} X_1. \quad X_3 = \frac{P_1}{P_3} X_1. Прибыль корпорации \pi=R-TC. Очевидно, выручка корпорации равна доходу потребителей, который они тратят на приобретение продуктов: R=I. При этом I – постоянная величина, которая не зависит от цен и объемов приобретаемых продуктов.

I = P_1 X_1 + P_2 X_2 + P_3 X_3 = 3 P_1 X_1. \quad X_1 = \frac{I}{3 P_1}.

\pi = I - TC = I - \left( 25 X_1 + 16 X_2 + 4 X_3 \right) = I - 25 \frac{I}{3 P_1} - 16 \frac{P_1}{P_2} \frac{I}{3 P_1} - 4 \frac{P_1}{P_3} \frac{I}{3 P_1} = I \left[ 1 - \frac{25}{3 P_1} - \frac{16}{3 P_2} - \frac{4}{3 P_3} \right] = I \left( 1 - \frac{25}{3 P_1} - \frac{16}{3 P_2} - \frac{4}{3 P_3} \right) = I \left[ 1 - \frac{25}{3(66 - P_2 - P_3)} - \frac{16}{3 P_2} - \frac{4}{3 P_3} \right].

Максимум прибыли достигается при условии:

\begin{cases} \frac{\partial \pi}{\partial P_2} = \frac{I}{3} \left[ -\frac{25}{(66 - P_2 - P_3)^2} + \frac{16}{P_2^2} \right] = 0, \\[10pt] \frac{\partial \pi}{\partial P_3} = \frac{I}{3} \left[ -\frac{25}{(66 - P_2 - P_3)^2} + \frac{4}{P_3^2} \right] = 0, \end{cases}

\begin{cases} -\frac{25 P_2^2 + 16 (66 - P_2 - P_3)^2}{(66 - P_2 - P_3)^2 P_2^2} = 0, \\[10pt] -\frac{25 P_3^2 + 4 (66 - P_2 - P_3)^2}{(66 - P_2 - P_3)^2 P_3^2} = 0, \end{cases}

\begin{cases} -25 P_2^2 + 16 (66 - P_2 - P_3)^2 = 0, \\[10pt] -100 P_3^2 + 16 (66 - P_2 - P_3)^2 = 0. \end{cases}

25P_2^2 = 100P_3^2, \quad P_2 = 2P_3, -100P_3^2 + 16(66 - 2P_3 - P_3)^2 = 0, 10P_3 = 4(66 - 3P_3),

P_3 = 12, \quad P_2 = 2P_3 = 24, P_1 = 66 - P_2 - P_3 = 30.

Ответ. P_1=30, P_2=24, P_3=12.