S013
В одной стране все продукты питания производятся одной государственной корпорацией. Государство приняло на себя обязательство, согласно которому цена условной потребительской корзины должна быть постоянной и равной 66 копейкам. Если один товар, входящий в корзину, дорожает, то другие должны дешеветь. Потребительская корзина включает в себя плавленый сырок, пирожок с капустой и бутылку кваса. Издержки корпорации на производство этих продуктов соответственно составляют: 25, 16 и 4 копейки. Все жители страны имеют одинаковую функцию полезности: U=X_1X_2X_3, где X_1,X_2,X_3 – соответственно месячное потребление сырков, пирожков и бутылок кваса. На перечисленные продукты жители тратят весь свой доход, при этом доходы всех жителей постоянны и равны между собой. Каждый житель может приобретать продукты в любой пропорции (необязательно, чтобы эта пропорция соответствовала соотношению продуктов в потребительской корзине). Корпорация удовлетворяет весь платежеспособный спрос на продукты.
Какие цены (Р_1, Р_2, Р_3) установит корпорация на перечисленные продукты для того, чтобы получать максимальную прибыль?
Поскольку функция полезности потребителя является функцией Кобба-Дугласа, то он максимизирует общую полезность при условии: P_1X_1=P_2X_2=P_3X_3.
X_2 = \frac{P_1}{P_2} X_1. \quad X_3 = \frac{P_1}{P_3} X_1. Прибыль корпорации \pi=R-TC. Очевидно, выручка корпорации равна доходу потребителей, который они тратят на приобретение продуктов: R=I. При этом I – постоянная величина, которая не зависит от цен и объемов приобретаемых продуктов.
I = P_1 X_1 + P_2 X_2 + P_3 X_3 = 3 P_1 X_1. \quad X_1 = \frac{I}{3 P_1}.
\pi = I - TC = I - \left( 25 X_1 + 16 X_2 + 4 X_3 \right) = I - 25 \frac{I}{3 P_1} - 16 \frac{P_1}{P_2} \frac{I}{3 P_1} - 4 \frac{P_1}{P_3} \frac{I}{3 P_1} = I \left[ 1 - \frac{25}{3 P_1} - \frac{16}{3 P_2} - \frac{4}{3 P_3} \right] = I \left( 1 - \frac{25}{3 P_1} - \frac{16}{3 P_2} - \frac{4}{3 P_3} \right) = I \left[ 1 - \frac{25}{3(66 - P_2 - P_3)} - \frac{16}{3 P_2} - \frac{4}{3 P_3} \right].
Максимум прибыли достигается при условии:
\begin{cases} \frac{\partial \pi}{\partial P_2} = \frac{I}{3} \left[ -\frac{25}{(66 - P_2 - P_3)^2} + \frac{16}{P_2^2} \right] = 0, \\[10pt] \frac{\partial \pi}{\partial P_3} = \frac{I}{3} \left[ -\frac{25}{(66 - P_2 - P_3)^2} + \frac{4}{P_3^2} \right] = 0, \end{cases}
\begin{cases} -\frac{25 P_2^2 + 16 (66 - P_2 - P_3)^2}{(66 - P_2 - P_3)^2 P_2^2} = 0, \\[10pt] -\frac{25 P_3^2 + 4 (66 - P_2 - P_3)^2}{(66 - P_2 - P_3)^2 P_3^2} = 0, \end{cases}
\begin{cases} -25 P_2^2 + 16 (66 - P_2 - P_3)^2 = 0, \\[10pt] -100 P_3^2 + 16 (66 - P_2 - P_3)^2 = 0. \end{cases}
25P_2^2 = 100P_3^2, \quad P_2 = 2P_3, -100P_3^2 + 16(66 - 2P_3 - P_3)^2 = 0, 10P_3 = 4(66 - 3P_3),
P_3 = 12, \quad P_2 = 2P_3 = 24, P_1 = 66 - P_2 - P_3 = 30.
Ответ. P_1=30, P_2=24, P_3=12.