Задача 1.1.5. Кофе Лечита
В штатах Халиско и Веракрус производят два товара: кофе (y) и молоко (x), которые используются для приготовления напитка — лечиты. Производственные возможности каждого региона описываются следующим образом:
Халиско: y_1=100-x_1
Веракрус: y_2=30-3x_2
Для приготовления одного стакана лечиты требуется одна единица молока и одна единица кофе. Задача правителей обоих регионов заключается в выборе объемов производства кофе и молока, а также объемов торговли между регионами, чтобы максимизировать потребление лечиты внутри своего штата.
Межрегиональный рынок является совершенно конкурентным (то есть оба штата воспринимают цену как заданную, при этом считают, что могут покупать и продавать по этим ценам любые объёмы продукции), а другие мексиканские штаты не производят и не потребляют ни кофе, ни молока.
а) Определите равновесные объемы производства и торговли кофе и молока в штатах. Во сколько раз кофе дороже молока?
\\ \\ Осень 2024
Ключевым условием в данной задаче является то, что регионы считают, что могут купить любой объём продукции по установившимся ценам, поэтому воспринимают свои КТВ без ограничений на размер другого региона.
Так как для одной единицы молока нужна одна единица кофе, то потребление кофе должно быть равно потреблению молока. Так как всё произведённое должно быть потреблено, то объёмы производства также должны совпадать. Пусть p — относительная цена молока.
1. Если эта цена меньше 1, то никто не захочет производить молоко, а потреблять — захотят. Эта ситуация не равновесная.
2. Если эта цена ровно 1, то в Халиско производят любой объём молока и кофе от 0 до 100 на КПВ, при этом в Веракрусе производится 30 единиц кофе. При такой цене Веракрус хочет потреблять 15 единиц молока (30-x=x), а Халиско — 50. Получается, должно производиться 65 единиц молока в Халиско, 15 из которых они продадут Веракрусу, а Веракрус продаст 15 единиц кофе.
3. Если цена будет больше 1, то Халиско захочет купить у Веракруса всё его кофе, что не позволит Веракрусу потреблять лечиту. Эта ситуация не равновесная. Итого, цена равна 1 (то есть кофе стоит столько же, сколько молоко), Халиско проиозводит 65 единиц молока и 35 единиц кофе, Веракрус производит 30 единиц кофе и 0 единиц молока, продавая Халиско 15 единиц кофе и покупая 15 единиц молока.
б) Центральное правительство Мексики обеспокоено недостаточным уровнем производства молока в Веракрусе и запрещает Веракрусу импортировать более q единиц молока. Сколько лечиты будет потребляться в каждом штате в зависимости от значения q ?
Понятно, что если q\geq 15, то на равновесие это не повлияет.
Цена по-прежнему останется на уровне 1 : сохраняются пункты 1 и 3 из предыдущего пункта.
Тогда КТВ в Веракрусе имеет вид
y = \begin{cases} 30 - x, & x \leq q \\ 30 - q - 3(x - q), & x > q \end{cases}
Тогда потребление x находим из уравнения 30-q-3(x-q)=x, получаем x=\frac{30+2q}{4}. Это и есть количество лечито в Веракрусе. В Халиско по-прежнему x=50. Не забываем для Веракруса добавить ограничение с q\leq 15 (если q\geq 15 ), то потребление равно 15.
в) В условиях предыдущего пункта определите, при каком значении q увеличение объема производства молока в Веракрусе достигает максимума?
Производство молока в веракрусе это \frac{30 + 2q}{4} - q = \frac{30 - 2q}{4}. Видим, что оно убывает по q. Выходит, что максимальное увеличение при q=0.