n семей, W — доход.

Полезность: U_i = a_i \ln C + x_i .

x_i = W - s_i , где s_i — вклад семьи i в расходы на салют.

C = \sum_{i=1}^{n} s_i .

0 = a_1 < a_2 <... < a_{n-1} < a_n = 1.

1. (2 балла за пункт 1)

Возникает проблема безбилетника. Общественное благо неконкурентно и неисключаемо, поэтому даже неоплачивающие салют могут в полной мере наслаждаться зрелищем. (2 балла)

2. (8 баллов за пункт 2)

Составим оптимизационную задачу каждой семьи и найдём потребное количество залогов салюта для каждой:

U_i = a_i \ln C + x_i \rightarrow \max;

x_i = W - s_i; \quad (2 \text{ балла})

C = \sum_{i=1}^{n} s_i

U_i = a_i \ln \left( \sum_{i=1}^{n} s_i \right) + w - s_i \rightarrow \max. \, (1 \text{ балл})

U'_i = \frac{a_i}{\left( \sum_{i=1}^{n} s_i \right)} - 1 = 0.

U''_i = - \frac{a_i}{\left( \sum_{i=1}^{n} s_i \right)}^2 < 0. \, (1 \text{ балл})

Получается, что для семьи i потребное количество залогов салюта C = a_i . (1 балл)

Все семьи понимают, что максимальная потребность в салюте у семьи с параметром a_n = 1 . Только эта семья в итоге оплатит свой вклад s_n = 1 . Остальные будут «безбилетниками», их потребное количество залогов салюте меньше. (2 балла) Будет произведён только один залп. (1 балл)

3. (5 баллов за пункт 3)

n — нечётное.

Если салют состоится, то затраты поровну делятся между всеми семьями \Rightarrow s_i = \frac{C}{n}.

Решение о проведении салюта зависит от медианной семьи с параметром a_m. Оптимальное количество салюта для этой семьи определяется так:

U_m = a_m \ln C + w - s_m = a_m \ln C + W - \frac{C}{n} \rightarrow \max. \quad (2 \text{ балла})

U'_m = \frac{a_m}{C} - 1 = 0 \Rightarrow C_m = n \cdot a_m. \quad (1 \text{ балл})

U''_m = -\frac{a_m}{C^2} < 0. \quad (2 \text{ балла})

Значит, найденное значение — действительная точка максимума.

4. (5 баллов за пункт 4)

SW = \sum_{i=1}^{n} (a_i \ln C + x_i) = \left( \sum_{i=1}^{n} a_i \right) \ln C + \sum_{i=1}^{n} w - C \rightarrow \max. \quad (2 \text{ балла})

SW' = \frac{\sum_{i=1}^{n} a_i}{C} - 1 = 0 \Rightarrow C^* = \sum_{i=1}^{n} a_i; \quad \bar{s} = \frac{C^*}{n}. \quad (2 \text{ балла})

Значит, найденное значение — действительная точка максимума.

5. (10 баллов за пункт 5)

SW = \min \{ a_i \ln C + x_i \}_{i=1,...,n} \rightarrow \max.

Пусть семья с параметром k является семьёй с наименьшей полезностью и нам нужно её максимизировать:

U_k = a_k \ln C + w - \frac{C}{n} \rightarrow \max. \quad (2 \text{ балла})

U'_k = \frac{a_k}{C} - \frac{1}{n} = 0 \Rightarrow C_m = n \cdot a_k. \quad (2 \text{ балла})

U''_k = -\frac{a_k}{C^2} < 0. \quad (0.1 \text{ балла})

Значит, найденное значение — действительная точка максимума.

Теперь найдём семью с наименьшей полезностью:

U_k \left(c = n \cdot a_k\right) = a_k \ln(n \cdot a_k) = w - \frac{n \cdot a_k}{n} \rightarrow \min. \quad (2 \text{ балла})

U'_k = \ln(n - a_k) + a_k \cdot \frac{n}{n - a_k} = 0; \Rightarrow \ln(n - a_k) = 0; \Rightarrow n - a_k = 1 \Rightarrow a_k = \frac{1}{n}.

U''_k = -\frac{n}{a_k} > 0. \quad (1 \text{ балл})

Значит, найденное значение — действительная точка минимума.