Новогодний салют
В жилом комплексе живёт n семей с детьми. Каждая семья имеет одинаковый уровень достатка, равный w. Приближается Новый год, и совет дома решает устроить салют для детей. Проживание в доме семьи характеризируется разной потребностью в салюте, функция полезности семьи i имеет вид: U_i = a_i \ln C + x_i , где С — количество собранных денег; a_i — количество денег, оставшихся после оплаты салюта. Если семья желает внести свой вклад в оплату салюта, то x_i = w - s_i .
Количество залога салюта зависит от количества собранных денег:
C = \sum_{i=1}^{n} s_i
Все семьи отличаются параметром a_i и упорядочены следующим образом в последовательности:
0 = a_1 < a_2 <... < a_{n-1} < a_n = 1.
1) Салют является общественным благом, и поэтому могут возникнуть проблемы со сбором средств на его проведение. Допустим, n нечётное и поэтому результат голосования будет зависеть от медианного избирателя, то есть семьи с средним значением параметра a_i. Пусть такая семья описывается значением a_m. Какое количество залога салюта будет в новогоднюю ночь в таком случае?
2) Совет дома решает устроить голосование по поводу проведения салюта. Если большинство из n семей проголосует за салют, то его обязательно проведут, а затраты поровну распределят среди всех семей в доме. Допустим, n чётное и поэтому результат голосования будет зависеть от медианного избирателя, то есть семьи с средним значением параметра a_i. Пусть такая семья описывается значением a_m. Какое количество залога салюта будет в новогоднюю ночь в таком случае?
3) Приведите аргументы «за» (не более трёх) и «против» (не более трёх) меры, введённой губернатором Засенья. Есть ли у губернатора способы достичь той же цели при помощи других мер? Выберите лучшую меру и обоснуйте свой выбор.
4) Совет дома в одностороннем порядке принимает решение, что салют должен состояться и все затраты поровну делятся между всеми семьями. Совет дома максимизирует общую функцию полезности:
SW = \sum_{i=1}^{n} U_i = \sum_{i=1}^{n} \left(a_i \ln C + x_i\right)
Какое количество залога салюта будет произведено?
5) Найдите оптимальную ставку налога на салют, если совет дома максимизирует функцию полезности:
SW = \min \{U_j\}_{j=1}^{n} = \min \{a_i \ln C + x_i\}_{j=1}^{n}
, то есть стремится улучшить положение той семьи, которая получает наименьшую полезность.
n семей, W — доход.
Полезность: U_i = a_i \ln C + x_i .
x_i = W - s_i , где s_i — вклад семьи i в расходы на салют.
C = \sum_{i=1}^{n} s_i .
0 = a_1 < a_2 <... < a_{n-1} < a_n = 1.
1. (2 балла за пункт 1)
Возникает проблема безбилетника. Общественное благо неконкурентно и неисключаемо, поэтому даже неоплачивающие салют могут в полной мере наслаждаться зрелищем. (2 балла)
2. (8 баллов за пункт 2)
Составим оптимизационную задачу каждой семьи и найдём потребное количество залогов салюта для каждой:
U_i = a_i \ln C + x_i \rightarrow \max;
x_i = W - s_i; \quad (2 \text{ балла})
C = \sum_{i=1}^{n} s_i
U_i = a_i \ln \left( \sum_{i=1}^{n} s_i \right) + w - s_i \rightarrow \max. \, (1 \text{ балл})
U'_i = \frac{a_i}{\left( \sum_{i=1}^{n} s_i \right)} - 1 = 0.
U''_i = - \frac{a_i}{\left( \sum_{i=1}^{n} s_i \right)}^2 < 0. \, (1 \text{ балл})
Получается, что для семьи i потребное количество залогов салюта C = a_i . (1 балл)
Все семьи понимают, что максимальная потребность в салюте у семьи с параметром a_n = 1 . Только эта семья в итоге оплатит свой вклад s_n = 1 . Остальные будут «безбилетниками», их потребное количество залогов салюте меньше. (2 балла) Будет произведён только один залп. (1 балл)
3. (5 баллов за пункт 3)
n — нечётное.
Если салют состоится, то затраты поровну делятся между всеми семьями \Rightarrow s_i = \frac{C}{n}.
Решение о проведении салюта зависит от медианной семьи с параметром a_m. Оптимальное количество салюта для этой семьи определяется так:
U_m = a_m \ln C + w - s_m = a_m \ln C + W - \frac{C}{n} \rightarrow \max. \quad (2 \text{ балла})
U'_m = \frac{a_m}{C} - 1 = 0 \Rightarrow C_m = n \cdot a_m. \quad (1 \text{ балл})
U''_m = -\frac{a_m}{C^2} < 0. \quad (2 \text{ балла})
Значит, найденное значение — действительная точка максимума.
4. (5 баллов за пункт 4)
SW = \sum_{i=1}^{n} (a_i \ln C + x_i) = \left( \sum_{i=1}^{n} a_i \right) \ln C + \sum_{i=1}^{n} w - C \rightarrow \max. \quad (2 \text{ балла})
SW' = \frac{\sum_{i=1}^{n} a_i}{C} - 1 = 0 \Rightarrow C^* = \sum_{i=1}^{n} a_i; \quad \bar{s} = \frac{C^*}{n}. \quad (2 \text{ балла})
Значит, найденное значение — действительная точка максимума.
5. (10 баллов за пункт 5)
SW = \min \{ a_i \ln C + x_i \}_{i=1,...,n} \rightarrow \max.
Пусть семья с параметром k является семьёй с наименьшей полезностью и нам нужно её максимизировать:
U_k = a_k \ln C + w - \frac{C}{n} \rightarrow \max. \quad (2 \text{ балла})
U'_k = \frac{a_k}{C} - \frac{1}{n} = 0 \Rightarrow C_m = n \cdot a_k. \quad (2 \text{ балла})
U''_k = -\frac{a_k}{C^2} < 0. \quad (0.1 \text{ балла})
Значит, найденное значение — действительная точка максимума.
Теперь найдём семью с наименьшей полезностью:
U_k \left(c = n \cdot a_k\right) = a_k \ln(n \cdot a_k) = w - \frac{n \cdot a_k}{n} \rightarrow \min. \quad (2 \text{ балла})
U'_k = \ln(n - a_k) + a_k \cdot \frac{n}{n - a_k} = 0; \Rightarrow \ln(n - a_k) = 0; \Rightarrow n - a_k = 1 \Rightarrow a_k = \frac{1}{n}.
U''_k = -\frac{n}{a_k} > 0. \quad (1 \text{ балл})
Значит, найденное значение — действительная точка минимума.