Сапоги-скороходы
В некотором царстве, в Тридесятом государстве жил-был царь Ерофей — любитель всяческих затей. И затеял он как-то раз модернизировать свою дружину — обуть каждого дружинника в сапоги-скороходы. Было в его царстве 40 мастеров, которые шили такие сапоги. Приказал Ерофей изымать у каждого мастера половину от того количества, что он сошьет сверх 1 пары в месяц.
1) Сколько дружинников можно будет обуть за месяц, если каждый мастер продает сапоги-скороходы на рынке совершенной конкуренции и стремится максимизировать прибыль, спрос на них описывается функцией Q_D=600-10P, где P — цена пары сапог (руб.), Q — величина спроса в месяц (пар). Издержки изготовления сапог-скороходов у всех мастеров задаются одинаковой функцией TC=2q^2+4q+10, где q — количество пар сапог, изготавливаемых одним мастером за месяц.
2) Как изменится в результате введения натурального сбора общее количество сапог-скороходов, изготавливаемых в месяц в царстве Ерофея? Как изменится прибыль каждого мастера?
а). Введение натурального сбора, уплачиваемого производителями, изменит функцию рыночного предложения, следовательно, изменится цена и решение каждого производителя об объёмах производства.
При любой цене производитель определяет объём производства так, чтобы максимизировать прибыль. Если каждый мастер производит q пар сапог, то продает он q-(q-1)*0,5 пары. Тогда:
\pi = P(q - (q - 1) \cdot 0{,}5) - 2q^2 - 4q - 10 \rightarrow \max \\ 0{,}5P - 4 = 4q \\ q^* = \dfrac{0{,}5P - 4}{4} = \dfrac{1}{8}P - 1
Однако в данной ситуации объём производства не совпадает с объёмом предложения. На рынке каждый мастер будет предлагать q_s=q^*-(q^*-1)*0,5. То есть:
q_s = \left(\dfrac{1}{8}P - 1\right) - \left(\dfrac{1}{8}P - 1 - 1\right) \cdot 0{,}5 \\ q_s = \dfrac{1}{16}P \\ Q_S = 40 \cdot \dfrac{1}{16}P = 2{,}5P
Найдем равновесную цену, равновесное количество и величину предложения одной фирмы:
600 - 10P = 2{,}5P \\ P = 48 \\ Q = 120 \\ q = 3
То есть на рынке каждый мастер будет продавать 3 пары сапог, а производить: q^*=\frac{1}{8}*48-1=5
Значит, в виде налога каждым мастером будет уплачено 2 пары сапог (5-3=2, или иначе (5-1)*0,5=2 ). Следовательно, можно будет обуть 80 дружинников (40*2=80).
б) Прибыль каждого мастера после введения натурального налога:
\pi_1 = 48 \cdot 3 - 2 \cdot 5^2 - 4 \cdot 5 - 10 = 64
Определим объем производства каждого мастера и его прибыль до введения налога. Для этого определим функцию рыночного предложения и равновесную цену.
Предложение каждого мастера определяется из условия P=MC :
P = 4q + 4 \\ q_s = \frac{P - 4}{4} \\ Q_s = 10P - 40 \\ 600 - 10P = 10P - 40 \\ P = 32 \\ Q = 280 \\ q = 7 \\ \pi_0 = 7 \cdot 32 - 2 \cdot 7^2 - 4 \cdot 7 - 10 = 88
Ответ:
1) За месяц можно обуть 80 дружинников.
2) Количество сапог-скороходов, производимых в царстве Ерофея, после введения сбора сократилось на 160 пар, прибыль каждого мастера сократилась на 24 монеты.