а). Введение натурального сбора, уплачиваемого производителями, изменит функцию рыночного предложения, следовательно, изменится цена и решение каждого производителя об объёмах производства.

При любой цене производитель определяет объём производства так, чтобы максимизировать прибыль. Если каждый мастер производит q пар сапог, то продает он q-(q-1)*0,5 пары. Тогда:

\pi = P(q - (q - 1) \cdot 0{,}5) - 2q^2 - 4q - 10 \rightarrow \max \\ 0{,}5P - 4 = 4q \\ q^* = \dfrac{0{,}5P - 4}{4} = \dfrac{1}{8}P - 1

Однако в данной ситуации объём производства не совпадает с объёмом предложения. На рынке каждый мастер будет предлагать q_s=q^*-(q^*-1)*0,5. То есть:

q_s = \left(\dfrac{1}{8}P - 1\right) - \left(\dfrac{1}{8}P - 1 - 1\right) \cdot 0{,}5 \\ q_s = \dfrac{1}{16}P \\ Q_S = 40 \cdot \dfrac{1}{16}P = 2{,}5P

Найдем равновесную цену, равновесное количество и величину предложения одной фирмы:

600 - 10P = 2{,}5P \\ P = 48 \\ Q = 120 \\ q = 3

То есть на рынке каждый мастер будет продавать 3 пары сапог, а производить: q^*=\frac{1}{8}*48-1=5

Значит, в виде налога каждым мастером будет уплачено 2 пары сапог (5-3=2, или иначе (5-1)*0,5=2 ). Следовательно, можно будет обуть 80 дружинников (40*2=80).

б) Прибыль каждого мастера после введения натурального налога:

\pi_1 = 48 \cdot 3 - 2 \cdot 5^2 - 4 \cdot 5 - 10 = 64

Определим объем производства каждого мастера и его прибыль до введения налога. Для этого определим функцию рыночного предложения и равновесную цену.

Предложение каждого мастера определяется из условия P=MC :

P = 4q + 4 \\ q_s = \frac{P - 4}{4} \\ Q_s = 10P - 40 \\ 600 - 10P = 10P - 40 \\ P = 32 \\ Q = 280 \\ q = 7 \\ \pi_0 = 7 \cdot 32 - 2 \cdot 7^2 - 4 \cdot 7 - 10 = 88

Ответ:

1) За месяц можно обуть 80 дружинников.

2) Количество сапог-скороходов, производимых в царстве Ерофея, после введения сбора сократилось на 160 пар, прибыль каждого мастера сократилась на 24 монеты.