Такси, такси
Часто взаимодействие на реальных рынках устроено не так, как в школьных задачах, и состоит из нескольких этапов при участии посредников. Попробуем рассмотреть одно из таких взаимодействий на примере рынка такси.
В некоторой стране рынок такси монополизирован одним большим агрегатором под названием «AY_{GO}». Агрегатор не осуществляет перевозки, а продаёт право работать при помощи своего приложения, причём таксист должен выплатить «AY_{GO} » r денежных единиц (д.е.) за каждую поездку, осуществлённую через приложение агрегатора. Издержки «AY_{GO} » на обслуживание приложения составляют C_A=2 д.е. в расчёте на одну поездку.
На рынке работают 100 таксистов, издержки каждого из них на одну поездку составляют C_T=6 д.е. Спрос на услуги каждого таксиста, подключённого к агрегатору, имеет вид q_i^d=28-P, где q_i^d – количество поездок, которое покупатели готовы приобрести у данного таксиста, может являться нецелым числом, а P – цена в д.е. за одну поездку. Спрос на услуги таксиста, не подключённого к агрегатору, отсутствует.
Взаимодействие выглядит следующим образом:
- сначала «AY_{GO} » назначает размер r ;
- после этого таксисты назначают цену P, максимизируя прибыль с учётом спроса на их услуги.
1. Найдите, какую цену назначат таксисты на конечную услугу, а также прибыль агрегатора
«AY_{GO} ».
Так как решения принимаются последовательно для начала запишем задачу оптимизации таксистов:
\pi_T = (28 - Q - r - 6)\,Q \;\to\; \max_{Q \ge 0} \;\Rightarrow\; Q^{*} = \frac{22 - r}{2}.
Далее запишем задачу оптимизации агрегатора:
\pi_A = 100 \cdot \frac{22 - r}{2} \cdot (r - 2) \;\to\; \max_{r \ge 0} \;\Rightarrow\; r^{*} = 12.
Найденное значение r подставим и найдём ответ P=23 и \pi_A=5000.
( 8 баллов)
2. Предположим, что у таксистов появилась возможность снизить издержки на каждую поездку до C_T=4 д.е., но это потребует от каждого из них дополнительных издержек в размере A=12. Будем считать, что «AY_{GO} » узнаёт о возможности таксистов инвестировать в сокращение издержек до того, как назначить r, а таксисты инвестируют в том случае, если их прибыль в результате этого не уменьшится.
Найдите цену, которую назначат таксисты за каждую поездку, значение r, а также прибыль агрегатора «AY_{GO} » в этом случае.
Без инвестиций в сокращение издержек, зная из прошлого пункта, что Q^{*}=\frac{22-r}{2}, прибыль таксиста составит:
\pi_T=\left(\frac{22-r}{2}\right)^{2}.
Если таксист инвестирует в сокращение издержек, то его прибыль составит: \pi_T=(28-Q-r-4)\,Q-12 \;\to\; \max_{Q\ge 0} \;\Rightarrow\; Q^{*}=\frac{24-r}{2} \;\Rightarrow\; \pi_T=\left(\frac{24-r}{2}\right)^{2}-12.
Тогда таксисты инвестируют, если:
\left(\frac{24-r}{2}\right)^{2}-12 \;\ge\; \left(\frac{22-r}{2}\right)^{2} \;\Rightarrow\; r\le 11.
Получаем, что если агрегатор оставит r=12, то таксисты не будут инвестировать и его прибыль составит 5000. Если же агрегатор стимулирует таксистов инвестировать, то его задача оптимизации имеет вид:
\pi_A =100\cdot \frac{24-r}{2}\cdot (r-2) \;\to\; \max_{\,0\le r\le 11}.
Вершина параболы с ветвями вниз достигается при r=13, но ограничения 11\geq r\geq 0. Значит, оптимум в r^*=11. При такое r прибыль агрегатора (5850 ) больше прибыли при r=12.
Найденное значение r подставим и найдём ответ P=21,5 и \pi_A=5850.
( 17 баллов)
3. Инвестиции в снижение издержек стали недоступны таксистам, а «AY_{GO} » решил изменить ценовую политику и теперь сам выбирает цену за одну поездку. Теперь агрегатор назначает не только размер r, но и устанавливает цену одной поездки P. После этого каждый таксист либо соглашается на условия «AY_{GO} » (если его прибыль не меньше нуля) и совершает количество поездок в соответствии со спросом на свои услуги, либо отказывается работать с агрегатором.
Найдите цену, которую назначит «AY_{GO} » за каждую поездку, значение r, а также прибыль «AY_{GO} » в этом случае. Объясните, почему (по сравнению с пунктом 1 ) цена поездки увеличилась (уменьшилась) в связи с появившейся возможностью агрегатора назначать цену за поездку.
P=r+6, так как при данной r агрегатор будет назначать минимальную возможную цену, чтобы увеличить выпуск при данном r и значит увеличить прибыль.
Далее запишем задачу оптимизации агрегатора:
\pi_A = 100\cdot Q(r+6)\cdot(r-2) = 100\,\bigl(28-(6+r)\bigr)(r-2) \;\to\; \max_{r\ge 0} \;\Rightarrow\; r^{*}=12,\; P=18.
Цена на конечную услугу сокращается, так как при наличии диктата по итоговым ценам со стороны агрегатора не происходит проблемы двойной маргинализации, то есть у таксистов пропадает рыночная власть к назначению дополнительной наценки на услугу. То есть не происходит "двойной наценки" и значит цена сокращается.
( 10 баллов)