Допустим монополист открыл n заводов. Тогда его постоянные издержки будут равны: FC=1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)

Теперь посмотрим на MC

MC_i = \frac{2Qi}{i^2}

значит Q_i = \frac{MC_i \cdot i^2}{2} данном случае MC всех заводов - возрастающие функции по Q, а значит в оптимуме они должны быть равны.

Обозначим MC_i как MC, тогда Q_{\text{общ}} = \frac{MC}{2(1^2 + \ldots + n^2)} отсюда MC = \frac{2Q}{n(n+1)(2n+1)}Тогда TC_{\text{общ}} = \frac{Q^2}{n(n+1)(2n+1)} + n(n+1)(2n+1)

Безусловно, можно взять производную по n, найти оптимальное значение (с учетом целочисленности n ), подставить в издержки и найти функцию. Однако, есть и другой метод: представим, что мы откроем хотя бы один завод (в противном случае, очевидно, монопольный выпуск равен нулю). Тогда FC>0, VC не меньше нуля. Пусть VC=a, FC=b. Тогда, по неравенству о средних TC не меньше чем 2Q, а так как мы минимизируем TC, то TC=2Q. Отсюда предельная прибыль монополиста равна -2q, значит оптимальный выпуск равен нулю.

Ответ:

Оптимальный монопольный выпуск 0.

Примечание:

Внимательный школьник наверняка заметит, что если взять производную TC по n, и проминимизировать, то оптимальное n будет неким образом зависеть от Q, и тогда нужно будет проверять будет ли n целым, в зависимости от Q. Однако, мы вывели, что если бы n необязательно было целым, то предельная прибыль монополиста была бы не положительной при любом Q, а значит при только целых n, прибыль будет не больше, и оптимальный монопольный выпуск все равно будет 0 (потому что оптимизация издержек для целых n есть частный случай оптимизации издержек для любых неотрицательных n ).

Еще более внимательный школьник заметит, что максимальная прибыль на данном спросе равна 1, как и постоянные издержки при открытии первого завода, уже отсюда можно сделать вывод, что оптимальный выпуск 0.