Борьба за скидку
Даня продает Аристарху Ксенофонтовичу некоторый специфический товар. Полезность товара для Дани равна нулю, а для Аристарха Ксенофонтовича равна v>0. Между продавцом и покупателем начинается торг. Сначала Даня решает, какую первоначальную цену на товар p ему предложить. Затем Аристарх решает, покупать ли товар по этой цене или начинать торговаться, выпрашивая скидку. Если Аристарх начинает торговаться, он гарантированно может добиться от Дани скидки в размере x, если потратит время и усилия, денежный эквивалент которых составляет x^2/p (чем больше первоначальная цена p, тем проще торговаться — издержки на усилия меньше). Выпросив скидку x, Аристарх затем покупает товар по цене p-x.
Таким образом, если Аристарх покупает товар, его полезность равна v-(p-x)-x^2/p, а полезность Дани равна p-x ; если он не покупает товар, то полезность обоих равна нулю. Если Аристарху безразлично, покупать товар или нет, он покупает товар. Эта информация известна обоим; каждый принимает решения так, чтобы его полезность была максимальна (с учетом ответного поведения другого участника).
а) Какую цену p назначит Даня? Будет ли Аристарх торговаться, и если да, то какого размера скидки x он добьется?
б) Допустим, Даня тоже несет альтернативные издержки времени, потраченного на торг; они составляют \alpha*x. При каких значениях \alpha\geq 0 Даня будет пытаться продать товар Аристарху?
а) Допустим, Даня назначил цену p. Найдем оптимальное действие Аристарха. Если он будет торговаться, его полезность будет равна v-(p-x)-x^2/p. Относительно x эта функция квадратичная, и ее графиком является парабола с ветвями вниз. Оптимальное значение x находится в вершине параболы: x^*=p/2. При этом максимальная полезность Аристарха равна v-(p-p/2)-p/4=v-3p/4. Она неотрицательна при p\leq 4v/3.
Таким образом, при p\leq 4v/3 Аристарх будет торговаться и добиваться скидки p/2, а при p>4v/3 откажется от покупки товара. В первом случае полезность Дани будет равна p-p/2=p/2 (возрастающая функция), а во втором — нулю. Таким образом, оптимальной для Дани является наибольшая цена p, при которой Аристарх не откажется сразу же, то есть p=4v/3. При этом Аристарх добьется скидки x=2v/3.
б) В этом случае оптимальное поведение Аристарха не меняется, и поэтому полезность Дани при назначении цены p\leq 4v/3 будет равна
p - x - \alpha x = p - \frac{p}{2} - \frac{\alpha p}{2} = p \frac{(1 - \alpha)}{2}.
Таким образом, Даня будет пытаться продать товар при \alpha\leq 1.