Борьба за скидку
Даня продает Аристарху Ксенофонтовичу некоторый специфический товар. Полезность товара для Дани равна нулю, а для Аристарха Ксенофонтовича равна . Между продавцом и покупателем начинается торг. Сначала Даня решает, какую первоначальную цену на товар ему предложить. Затем Аристарх решает, покупать ли товар по этой цене или начинать торговаться, выпрашивая скидку. Если Аристарх начинает торговаться, он гарантированно может добиться от Дани скидки в размере , если потратит время и усилия, денежный эквивалент которых составляет (чем больше первоначальная цена , тем проще торговаться — издержки на усилия меньше). Выпросив скидку , Аристарх затем покупает товар по цене .
Таким образом, если Аристарх покупает товар, его полезность равна , а полезность Дани равна ; если он не покупает товар, то полезность обоих равна нулю. Если Аристарху безразлично, покупать товар или нет, он покупает товар. Эта информация известна обоим; каждый принимает решения так, чтобы его полезность была максимальна (с учетом ответного поведения другого участника).
а) Какую цену назначит Даня? Будет ли Аристарх торговаться, и если да, то какого размера скидки он добьется?
б) Допустим, Даня тоже несет альтернативные издержки времени, потраченного на торг; они составляют . При каких значениях Даня будет пытаться продать товар Аристарху?
Ответ
а) Допустим, Даня назначил цену . Найдем оптимальное действие Аристарха. Если он будет торговаться, его полезность будет равна . Относительно эта функция квадратичная, и ее графиком является парабола с ветвями вниз. Оптимальное значение находится в вершине параболы: . При этом максимальная полезность Аристарха равна . Она неотрицательна при .
Таким образом, при Аристарх будет торговаться и добиваться скидки , а при откажется от покупки товара. В первом случае полезность Дани будет равна (возрастающая функция), а во втором — нулю. Таким образом, оптимальной для Дани является наибольшая цена , при которой Аристарх не откажется сразу же, то есть . При этом Аристарх добьется скидки .
б) В этом случае оптимальное поведение Аристарха не меняется, и поэтому полезность Дани при назначении цены будет равна
Таким образом, Даня будет пытаться продать товар при .