Подарок от бабушки
Рассмотрим два года из жизни Пети, которому сегодня исполнилось 18 лет. По такому случаю бабушка подарила ему на совершеннолетие 120 евро. Это был достаточно щедрый жест со стороны бабушки, потому что на 19 лет она ему пообещала подарить только 75 евро. Пете может либо потратить их на развлечения, либо каким-либо образом распределить их во времени. Например, он может часть денег сегодня потратить больше сегодня за счет будущего года. При этом предположим, что Петя принимает решение только на два года и не учитывает доходы и потребление в будущих периодах, а на момент 18-ти лет не имеет никаких ожиданий.
Межвременная функция полезности Пети имеет вид U(c_1, c_2) = 120 ln c_1 + \delta c_2, где c_1 — расходы на развлечения в первый год, а c_2 — расходы на развлечения во второй год. Петя, как и все люди, по-разному относится к настоящему и будущему: фактор дисконтирования \delta показывает, насколько развлечение сегодня важнее развлечений завтра и насколько неравномерно Петя. Обычно фактор дисконтирования лежит в интервале от 0 до 1: чем меньше значение \delta , тем нетерпеливее Петя, и поэтому он будет меньше заботиться о своем будущем; если \delta = 1 , значит, будущее так же важно, как и настоящее. Известно, что фактор дисконтирования Пети \delta лежит в интервале (2/3, 1) .
1) Допустим, ставка банковского процента равна 20% годовых, то есть если Петя сегодня отложит с д. е. на целый год, то через год он получит (1 + 0.2)s, а если он решит взять в кредит b д. е., то через год он должен вернуть (1 + 0.2)b. Найдите уравнение межвременного бюджета.
2) Найдите оптимальные размеры расходов в каждом году.
3) Теперь допустим, что ставка по депозиту равна 20% годовых, а ставка по кредиту 25% годовых. Найдите уравнение родного бюджетного ограничения Пети. Подумайте, как распределение расходов Пети не будет являться замещением, если сберегать. [Подсказка: представьте, что Петя будет собирать, а не делить, когда Петя будет собирать, а не делить.]
4) Предположим, государство ввело 20% налога на всю сумму вклада, включая проценты (то есть по истечении срока вклада государство забирает 20% от всей суммы в выплаче). Выживет ли Петя в таких условиях?
w1 = 120 w2 = 75 U(c1, c2) = 120ln(c1) + \delta c2
1. r = 20%
Приведённая стоимость потребления за два года должна быть равна приведённой стоимости:
c1 + \frac{c2}{1 + r} = w1 + \frac{w2}{1 + r} или c1 + \frac{c2}{1,2} = 120 + \frac{75}{1,2} = 182,5 (МБО) (4 балла)
(3 балла)
tg \alpha = 1,2
точка (120;75) - точка автономного потребления, точка Полония
3 балла, необходимо проверить, правильно ли найдено ограничение по уровню расходов в каждом периоде.
Необходимо отметить, что может быть угловое решение относительно c2. Потребление c1 должно быть строго положительным.
2. Здесь возможно два вида решения: внутреннее и угловое. Рассмотрим оба.
Вот текст, извлечённый из загруженного вами изображения:
\begin{cases} U(c_1, c_2) = 120 \ln(c_1) + \delta c_2 \\ \rightarrow \max; \\ c_1 + \frac{c_2}{1,2} = 182,5; \\ c_1 > 0, c_2 \geq 0. \end{cases}
3 балла, необходимо проверить, правильно ли найдено ограничение по уровню расходов в каждом периоде.
Необходимо отметить, что может быть угловое решение относительно c2. Потребление c1 должно быть строго положительным.
2. Здесь возможно два вида решения: внутреннее и угловое. Рассмотрим оба.
- внутреннее: c_1 > 0, c_2 > 0
выражаем из МБО c2 через c1:
U(c_1) = 120 \ln(c_1) + \delta(219 - 1,2c_1) \rightarrow \max (4 балла)
U'(c_1) = \frac{120}{c_1} - 1,2 \delta = 0
U''(c_1) = -\frac{120}{c_1^2} < 0 \quad (2 балла) \Rightarrow \max^{*} = \frac{100}{\delta}, c_2^{*} = 219 - \frac{120}{\delta}
U^{*}(c^{*}_1, c^{*}_2) = 120 \ln(100) + 219 \delta - 120 \quad \text{т.к. } \delta < 1, полезность возрастает по величине \delta. Оценим полезность по минимальному значению \delta = \frac{2}{3} : (1 балл)
U^{*}(c^{*}_1, c^{*}_2) = 120 \times 4,6 - 120 \times (-0,4) + 219 \times \frac{2}{3} - 120 = 626
- **угловое решение** c_1 > 0, c_2 = 0
В этом случае потребление c_1^{0} = 182,5, а полезность равна U^{0}(c^{0}_1 = 182,5; c^{0}_2 = 0) = 624 .
Видно, что даже при минимальном значении \delta , Петя получает большую полезность при внутреннем решении (4 балла).
3. r = 20\% (депозит);
i = 25\% (кредит).
Теперь МБО Пети будет состоять из двух сегментов в зависимости от того, является ли он заёмщиком или сберегателем.
Если сберегатель:
\begin{cases} c_1 = 120 - s_1; \\ c_2 = 75 + 1,2(120 - c_1), \text{ если } c_1 < 120. \end{cases} (4 балла)
Если заёмщик:
\begin{cases} c_1 = 120 + b_1; \\ c_2 = 75 - 1,25(c_1 - 120), \text{ если } c_1 > 120. \end{cases} (4 балла)
Из оптимизационной задачи известно, что решение является внутренним (\delta > \frac{2}{3}). Необходимо узнать, при каких значениях \delta Петя станет заёмщиком или сберегателем.
Если Петя сберегает, то
c_1 = \frac{120}{\delta} < 120, т.е. \delta > \frac{5}{6}. (3 балла)
Если Петя заёмщик, то
c_1 = \frac{120}{1.25} > 120, т.е. \delta < \frac{4}{5}. (3 балла)
Значит при \delta \in [\frac{4}{5}; \frac{5}{6}] (2 балла) Петя расходует в каждом периоде свой доход, не используя услуги банка.
- t = 20\% на сумму к выплате по вкладу. Нас интересует только сегмент, где Петя является сберегателем:
\begin{cases} c_1 = 120 - s_1; \\ c_2 = 75 + 0,96(120 - s_1). \\ \end{cases} \quad (4 \text{ балла})
Мы знаем из оптимизационной задачи, что c_1 = \frac{120}{0,96 \cdot \delta} (2 балла).
Если Петя сберегает, то c_1 < 120: \frac{125}{\delta} < 120 или \delta > \frac{125}{120} > 1. Однако \( \delta \) должно быть меньше 1 (2 балла). Это говорит о том, что Пете не выгодно сберегать вообще, если имеется налог.