w1 = 120 w2 = 75 U(c1, c2) = 120ln(c1) + \delta c2

1. r = 20%

Приведённая стоимость потребления за два года должна быть равна приведённой стоимости:

c1 + \frac{c2}{1 + r} = w1 + \frac{w2}{1 + r} или c1 + \frac{c2}{1,2} = 120 + \frac{75}{1,2} = 182,5 (МБО) (4 балла)

(3 балла)

tg \alpha = 1,2

точка (120;75) - точка автономного потребления, точка Полония

3 балла, необходимо проверить, правильно ли найдено ограничение по уровню расходов в каждом периоде.

Необходимо отметить, что может быть угловое решение относительно c2. Потребление c1 должно быть строго положительным.

2. Здесь возможно два вида решения: внутреннее и угловое. Рассмотрим оба.

Вот текст, извлечённый из загруженного вами изображения:

\begin{cases} U(c_1, c_2) = 120 \ln(c_1) + \delta c_2 \\ \rightarrow \max; \\ c_1 + \frac{c_2}{1,2} = 182,5; \\ c_1 > 0, c_2 \geq 0. \end{cases}

3 балла, необходимо проверить, правильно ли найдено ограничение по уровню расходов в каждом периоде.

Необходимо отметить, что может быть угловое решение относительно c2. Потребление c1 должно быть строго положительным.

2. Здесь возможно два вида решения: внутреннее и угловое. Рассмотрим оба.

- внутреннее: c_1 > 0, c_2 > 0

выражаем из МБО c2 через c1:

U(c_1) = 120 \ln(c_1) + \delta(219 - 1,2c_1) \rightarrow \max (4 балла)

U'(c_1) = \frac{120}{c_1} - 1,2 \delta = 0

U''(c_1) = -\frac{120}{c_1^2} < 0 \quad (2 балла) \Rightarrow \max^{*} = \frac{100}{\delta}, c_2^{*} = 219 - \frac{120}{\delta}

U^{*}(c^{*}_1, c^{*}_2) = 120 \ln(100) + 219 \delta - 120 \quad \text{т.к. } \delta < 1, полезность возрастает по величине \delta. Оценим полезность по минимальному значению \delta = \frac{2}{3} : (1 балл)

U^{*}(c^{*}_1, c^{*}_2) = 120 \times 4,6 - 120 \times (-0,4) + 219 \times \frac{2}{3} - 120 = 626

- **угловое решение** c_1 > 0, c_2 = 0

В этом случае потребление c_1^{0} = 182,5, а полезность равна U^{0}(c^{0}_1 = 182,5; c^{0}_2 = 0) = 624 .

Видно, что даже при минимальном значении \delta , Петя получает большую полезность при внутреннем решении (4 балла).

3. r = 20\% (депозит);

i = 25\% (кредит).

Теперь МБО Пети будет состоять из двух сегментов в зависимости от того, является ли он заёмщиком или сберегателем.

Если сберегатель:

\begin{cases} c_1 = 120 - s_1; \\ c_2 = 75 + 1,2(120 - c_1), \text{ если } c_1 < 120. \end{cases} (4 балла)

Если заёмщик:

\begin{cases} c_1 = 120 + b_1; \\ c_2 = 75 - 1,25(c_1 - 120), \text{ если } c_1 > 120. \end{cases} (4 балла)

Из оптимизационной задачи известно, что решение является внутренним (\delta > \frac{2}{3}). Необходимо узнать, при каких значениях \delta Петя станет заёмщиком или сберегателем.

Если Петя сберегает, то

c_1 = \frac{120}{\delta} < 120, т.е. \delta > \frac{5}{6}. (3 балла)

Если Петя заёмщик, то

c_1 = \frac{120}{1.25} > 120, т.е. \delta < \frac{4}{5}. (3 балла)

Значит при \delta \in [\frac{4}{5}; \frac{5}{6}] (2 балла) Петя расходует в каждом периоде свой доход, не используя услуги банка.

t = 20\% на сумму к выплате по вкладу. Нас интересует только сегмент, где Петя является сберегателем:

\begin{cases} c_1 = 120 - s_1; \\ c_2 = 75 + 0,96(120 - s_1). \\ \end{cases} \quad (4 \text{ балла})

Мы знаем из оптимизационной задачи, что c_1 = \frac{120}{0,96 \cdot \delta} (2 балла).

Если Петя сберегает, то c_1 < 120: \frac{125}{\delta} < 120 или \delta > \frac{125}{120} > 1. Однако \( \delta \) должно быть меньше 1 (2 балла). Это говорит о том, что Пете не выгодно сберегать вообще, если имеется налог.