Рассчитаем норму доходности каждого из проектов. Для этого разделим общий доход на сумму инвестиций и вычтем единицу:

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Проект} & 1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\ \hline \text{Инвестиции} & 100&200&300&400&500&600&700&800&900&1000\\ \hline \text{Общий доход через год} & 109&242&324&452&575&648&735&976&1044&1210\\ \hline \text{Доходность, \% годовых} & 9&21&8&13&15&8&5&22&16&21\\ \hline \end{array}

Поскольку доходность проектов 2, \ 8, \ 10 выше ставки по кредиту (20\%), в них точно нужно вкладываться в любом случае (добавление такого проекта к портфелю увеличит итоговую сумму денег независимо того, используются собственные или заемные средства).

Поскольку доходность проектов 1, \ 3, \ 6, \ 7 ниже ставки по депозиту (10\%), в них точно нужно не вкладываться ни в каком случае (добавление такого проекта к портфелю уменьшит итоговую сумму денег независимо от того, используются собственные или заемные средства).

Эквивалентным рассуждением здесь является рассуждение через NPV. Для проектов 2, \ 8, \ 10 \ NPV положительно, даже если ставкой дисконтирования является ставка процента по кредиту, поэтому эти проекты нужно осуществлять в любом случае. Для проектов 1, \ 3, \ 6, \ 7 \ NPV отрицательно, даже если ставкой дисконтирования является ставка процента по депозиту, поэтому эти проекты точно не нужно осуществлять.

Осталось принять решение по проектам 4, \ 5, \ 9. Здесь выбор более тонкий, потому что их доходность больше ставки по депозиту, но меньше ставки по кредиту.

В принципе, остается 2^3=8 вариантов, потому что в каждый из этих проектов можно как инвестировать, так и нет. Но перебор можно сократить, заметив следующее.

После инвестиций в проекты 2, \ 8, \ 10 на счету Юного Инвестора окажутся

2400-200-800-1000=400 ден. ед.

Поскольку требуемые инвестиции для каждого из проектов 4, \ 5, \ 9 не меньше 400, после инвестиций в хотя бы один из этих проектов собственных средств не останется, и для дальнейших инвестиций придется брать кредит. Поскольку доходность каждого из этих проектов меньше ставки по кредиту, инвестировать далее в еще какие-то из этих проектов не следует. Значит, из этих трех проектов оптимально инвестировать максимум в какой-то один.

Остается 4 варианта: (1) инвестируем в проект 4, (2) в проект 5, (3) в проект 9 ; (4) ни в один из этих проектов. Для каждого из вариантов рассчитаем итоговую сумму денег на счету.

Обозначим за S суммарный доход от проектов 2, \ 8, \ 10. (Его можно не считать, но для справки отметим, что он равен 242+976+1210=2428.) Итоговая сумма денег для вариантов 1-4 :

Вариант 1:S+452.

Вариант 2:S+575-(500-400)*1,2=S+455.

Вариант 3:S+1044-(900-400)*1,2=S+444.

Вариант 4:S+400*1,1=S+440.

Значит, наилучшим является вариант 2 - инвестировать в проект 5.

Ответ: Следует инвестировать в проекты 2, \ 5, \ 8, \ 10.

(Максимальная итоговая сумма на счету равна S+455=2883.)

Примечание: Заметим, что простой алгоритм, при котором мы упорядочиваем проекты по убыванию доходности, а затем инвестируем в них в этом порядке, пока итоговая сумма на счету растет, здесь не приводит к оптимуму. Действительно, найденный нами оптимум не достижим с помощью такого алгоритма, потому что в оптимуме мы инвестируем в проект 5 с доходностью 15\%, но не инвестируем в проект 9 с доходностью 16\%. Это может показаться парадоксальным, но никакого противоречия здесь нет: для принятия решений по проектам с промежуточной доходностью (между ставкой по депозиту и по кредиту) важна не только доходность, но и абсолютная сумма инвестиций. Если эта сумма высока (как для проекта 9 ), то проект может потребовать большого объема кредитных средств, и в этом случае средневзвешенная ставка привлечения средств для него будет ближе к кредитной, чем депозитной, превосходя доходность проекта.