Монополист Везучий-2
Монополист Н. Е. Везучий оказался в затруднительном положении: в краткосрочном периоде в оптимуме оказалось, что выручка покрывает только переменные издержки. Спрос на рынке описывается функцией P=150-3Q, в оптимуме монополист продаёт 10 единиц продукции, отсутствует возможность ценовой дискриминации. Известно, что функция средних переменных издержек AVC описывается параболой, минимум которой достигается при Q=12.
Пусть государство, считая производство монополиста очень важным для страны, вводит потоварную субсидию монополисту в размере 375 ден. ед. на одну единицу продукции. Найдите новое оптимальное количество.
Найдём равновесие, если Q=10, P=120.
Восстановим функцию переменных издержек VC. Не важно, уходить с рынка или нет, значит прибыль равна -FC. Если в оптимуме прибыль равна -FC, то ситуация выглядит так:
В этом случае должны выполняться условия:
1. спрос касается AVC при Q=10
2. AVC=P при Q=10.
Пункты 1 и 2 верны, так как в точке оптимума прибыль:
\pi=P*Q^*-AVC*Q^*-FC=Q^*(P-AVC)-FC
3. MC=MR при Q=10, так как это точка оптимума.
Введём функцию AVC=aQ^2+bQ+c. Подставим всю известную информацию:
AVC'_Q = P'_Q \Rightarrow 2aQ + b = -3 \Rightarrow 20a + b = -3 \Rightarrow b = -3 - 20a \\ aQ^2 + bQ + c = 120 \Rightarrow 100a + 10b + c = 120 \Rightarrow c = 120 - 100a - 10 \cdot (-3 - 20a) \Rightarrow c = 150 + 100a \\ Q_b = \frac{-b}{2a} = 12 \Rightarrow b = -24a = -3 - 20a \Rightarrow a = \frac{3}{4}, \ b = -18 \\ c = 150 + 100a = 225 \Rightarrow VC = 0{,}75Q^3 - 18Q^2 + 225Q
Если введена субсидия в размере 375 единиц, то новая функция
VC = 0{,}75Q^3 - 18Q^2 + 225Q - 375Q ( 7 баллов)
Тогда: MC = \frac{9}{4}Q^2 - 36Q - 150 = 150 - 6Q = MR
Новое Q^*=20 ( 4 балла).