S006
На каждый Новый год, а именно, 1 января в 0 часов 0 минут мачеха дарит Золушке три мороженки и некоторое количество медных монеток. Как минимум, одну мороженку Золушка должна съесть тотчас. Не съеденные тотчас мороженки она может положить на хранение в холодильник. Каждая из них может быть съедена в 0 часов 0 минут любых суток текущего года. За одни сутки хранения одной мороженки в холодильнике Золушка должна платить мачехе одну монетку (а если одновременно хранятся две мороженки, надо платить 2 монетки в сутки). Количество монеток, полученное Золушкой, достаточно для оплаты хранения двух мороженок в течение года и даже немного более. Мороженка может храниться в холодильнике только целое число суток. После извлечения мороженки из холодильника Золушка обязана немедленно съесть ее. Будем считать, что в году ровно 365 суток.
Функция полезности Золушки: U=X-0,01Y^2, где X – сумма денег, которая осталась у Золушки к концу года после оплаты хранения мороженок, Y – максимальный интервал времени (в сутках) в течение года между моментами употребления мороженок.
Сколько суток Золушка будет хранить в холодильнике вторую мороженку и сколько суток – третью?
Предположим, сумма денег, полученная Золушкой, равна M. Очевидно, возможны три сценария поведения Золушки: 1) Все три мороженки съедаются 1 января; 2) 1 января съедаются две мороженки, а 3 -я мороженка – в течение года; 3) 2 -я и 3 -я мороженки съедаются в течение года. Рассмотрим по очереди эти сценарии.
Сценарий 1. Все три мороженки съедаются 1 января.
После того как съедены все мороженки, Золушки ждет 365 суток до следующего Нового года. U=M-0,01*365^2=M-1332.25.
Сценарий 2. 1 января съедаются две мороженки, а 3 -я мороженка – в течение года.
Этот сценарий иллюстрирует приведенная ниже схема. Первый кружок на оси времени показывает момент 0 ( 0 часов 0 минут 1 января), последний кружок – окончание 365 -х суток (или 0 часов 0 минут 1 января следующего года, когда Золушка вновь получает три мороженки). Цифры в кружках – это номера съедаемых мороженок. Жирная стрелка обозначает интервал времени, в течение которого Золушка оплачивает хранение одной мороженки. Предположим, первоначально Золушка по какой-то причине выбрала Вариант 2.1., при котором самый длинный интервал (между 2 -й и 3 -й мороженками) находится в начале года. Очевидно, более предпочтительным является Вариант 2.2. При выборе этого варианта величина 0,01Y^2 остается той же самой, а величина X оказывается большей (так как расходы на хранение уменьшаются).
Это значит, что при выборе Сценария 2 самый длинный интервал будет находиться в конце года. Т. е. 182<Y<365 (не забывайте, что по смыслу задачи Y – целое). U=[M-(365-Y)]-0,01Y^2=-0,01Y^2+Y+(M-365). U'=1-0,02Y=0. Абсолютный максимум функции полезности достигается при Y=50. А на интервале возможных значений (182<Y<365) максимальная полезность обеспечивается при Y=183. U=[M-(365-183)]-0,01*183^2=M-516,89.
Сценарий 3. 2 -я и 3 -я мороженки съедаются в течение года.
Приведенная ниже схема аналогична предыдущей. Двойная жирная стрелка означает интервал времени, в течение которого оплачивается хранение двух мороженок. Предположим опять-таки, что Золушка выбрала самый длинный интервал в начале года (Вариант 3.1.1. ). По причинам, рассмотренным выше, Вариант 3.1.2. будет более предпочтительным.
Точно так же Вариант 3.2.2. более выгоден для Золушки, нежели Вариант 3.2.1.
Таким образом, при выборе Сценария 3 самый длинный интервал также находится в конце года. Это будет интервал между 3 -й мороженкой текущего года и 1 -й мороженкой следующего года. Осталось определить, каким будет интервал между 2 -й и 3 -й мороженками текущего года. Предположим, этот интервал меньше Y (Вариант 3.3.1. ). Очевидно, увеличив его до размера Y, мы можем сократить общие расходы на хранение мороженок в холодильнике. Но больше, чем Y, этот интервал быть не может. Если он станет большим, чем Y, мы возвращаемся к Варианту 3.2.1, когда самый большой интервал был между 2 -й и 3 -й мороженками. А этот вариант, как мы выяснили, не является оптимальным.
Следовательно, при выборе Сценария 3 наилучшим является Вариант 3.3.2. U = [M - (365 - 2Y) - (365 - Y)] - 0,01Y^2 = M - 730 + 3Y - 0,01Y^2. U' = 3 - 0,02Y = 0. Y=150. U = M - 730 + 3Y - 0,01Y^2 = M - 505. Сравнивая сценарии, мы обнаруживаем, что максимум функции полезности достигается при выборе Сценария 3. Т. е. 2 -я мороженка хранится 365-2*150=65 суток. Третья мороженка хранится 365-150=215 суток.
Ответ. Вторая мороженка хранится 65 суток, третья – 215 суток.