10 видов мёда и постоянная предельная полезность
На ярмарке мёда посетителям предлагаются 10 различных видов этого сладкого продукта. Винни-Пух, как истинный сладкоежка, обладает такими предпочтениями, что предельная полезность мёда любого вида для него с ростом потребления не убывает, а остается неизменной. Информация о предельной полезности единицы мёда каждого вида и о ценах приведена в таблице:
- Сколько единиц каждого вида мёда вы бы посоветовали приобрести Винни-Пуху, максимизирующему общую полезность, если его общий доход составляет 60? (Можно считать мёд бесконечно делимым продуктом).
- Как изменится ваш ответ на первый вопрос, если Вини-Пух будет обязан уплачивать налог в размере 6 за каждую потребленную единицу мёда любого вида?
1)Интуитивно можно догадаться, что нужно покупать только тот вид мёда, для которого отношение наибольшее.
Доказательство:
Пусть i – вид мёда, для которого отношение \frac{MU}{P} наибольшее, j – какой-то другой вид мёда.
Предположим, что мы потребляем положительное количество xj и получаем от него полезность MUjxj.
Тогда если бы мы не потребляли xj, мы бы не получили MUjxj , но сэкономили бы pjxj. На эти деньги мы смогли бы купить \frac{p_jx_j}{p_i} единиц i-того вида мёда и получили бы полезность \frac{MU_ip_jx_j}{p_i}.
Но по условию \frac{MU_i}{p_i} > \frac{MU_j}{p_j} \Rightarrow \frac{MU_ip_jx_j}{p_i} > MU_jx_j..
Таким образом, если любой из видов мёда заменить i-тым, то общая полезность увеличится. Значит, мы не достигнем оптимума, пока не потратим все деньги на i-тый вид мёда.
Наибольшим отношением \frac{MU}{P} обладает третий вид меда – его и будет потреблять Винни-Пух. Располагая доходом 60, он сможет купить 30 единиц мёда этого вида.
2)Все цены вырастут на 6, и наибольшим отношением будет обладать другой вид мёда – седьмой. Винни-Пух сможет приобрести только 4 единицы этого вида мёда.
Ответ:
1) (0; 0; 30; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0);
2) (0; 0; 0; 0; 0; 0; 4; 0; 0; 0).