Продажа информации
На рынке ценных бумаг выставлены на продажу пакеты акций трех компаний стартапов A, B и C, каждый по цене 30 млн руб. Компании конкурируют друг с другом, и ожидается, что через год ровно одна из них добьется успеха и её акции будут стоить 54 млн руб., а две другие разорятся и их акции будут иметь нулевую стоимость. Какая именно компания успешная, заранее неизвестно: с равными вероятностями это может быть любая из трех. Аналитик предлагает услуги исследования рынка и рекомендаций инвесторам, являясь монополистом в этой области. В результате исследования рынка аналитику удается выяснить ровно об одной случайно выбранной1 компании правдивую информацию, станет ли она успешной. Издержки на исследование составляют 2 млн руб. После этого аналитик дает рекомендацию, в какие именно акции инвестировать: если он знает, какая компания станет успешной, то её и рекомендует, а если ему известно лишь, что некоторая компания разорится, то он случайным образом выбирает из двух других. Впрочем, вместо добросовестного исследования рынка аналитик может имитировать его, просто порекомендовав купить акции случайно выбранной из трех компании –– на это он издержек не несет. Если аналитик безразличен между тем, проводить исследование или имитировать его, он проводит исследование. Инвестор рассматривает возможность купить акции одной из компаний. Для этого он готов воспользоваться услугами аналитика и приобрести у него некоторый информационный продукт, если ожидает неотрицательную прибыль по итогам всего предприятия. На основе полученной информации инвестор принимает решение, покупать ли акции. Инвестор самостоятельно не может исследовать рынок или наблюдать за деятельностью аналитика. Каждый экономический агент максимизирует математическое ожидание своей прибыли с учетом той информации, которой обладает. Если прибыль случайна и может принимать два значения \pi 1 и \pi 2 с вероятностями q1 и q2 соответственно, то математическим ожиданием прибыли является величина q1\pi 1 + q2\pi 2. Например, если инвестор самостоятельно, не пользуясь услугами аналитика, купит акции компании A, то его ожидаемая прибыль (математическое ожидание прибыли) составит 1/3 (54 − 30) + 2/3 (0 − 30) = −12 млн руб. Оба агента знают всю информацию, данную выше в условии.
а) (2 балла) Пусть аналитик назначает цену p \geq 0 за рекомендацию, какие акции покупать. Если инвестор соглашается, он платит p просто за рекомендацию. Какую максимальную цену p готов заплатить инвестор за рекомендацию на таких условиях?
б) (4 балла) Пусть аналитик дает инвестору рекомендацию на следующих условиях: при любом исходе инвестор платит аналитику фиксированную сумму p \geq 0, а через год, в случае успеха компании, акции которой куплены, –– еще дополнительно премию b \geq 0. Каким должен быть размер премии b, чтобы аналитик был заинтересован в добросовестном исследовании рынка? Какие параметры контракта p и b выберет аналитик, будучи монополистом? Возможно, оптимальных контрактов более одного –– тогда предложите любой их них.
в) (4 балла) Предположим, что аналитик может предоставить инвестору сертификат, подтверждающий выполнение исследования рынка и содержащий всю информацию, которую при этом удалось выяснить. Дополнительные расходы аналитика на сертификацию составляют 1 млн руб. Решение о сертификации принимается аналитиком перед началом исследования рынка. Инвестор платит аналитику за этот информационный продукт цену p \geq 0, не зависящую от содержания сертификата. Использование премии за успешный исход инвестиций, как в пункте б), не предусмотрено. Как решение инвестора о покупке акций зависит от содержания сертификата? Какую цену p назначит аналитик?
г) (2 балла) Может ли комбинация информационных продуктов из б) и в) принести аналитику прибыль бOльшую, чем каждый из них?
1 Здесь и далее предполагается, что случайный выбор происходит с равными вероятностями.
а) У аналитика нет стимулов к добросовестному исследованию рынка: он получает p − 2, если проводит его, и p, если просто даёт рекомендацию наугад. Поэтому рекомендация не содержит новой информации и не может влиять на оптимальное решение инвестора (в данном случае –– не покупать акции, так как в случае покупки ожидаемая прибыль отрицательная) и на его прибыль (в данном случае нулевую). Следовательно, максимальная цена, которую готов заплатить инвестор за такую информацию-«пустышку», равна нулю.
б) Если аналитик проводит исследование рынка, то с вероятностью 1/3 он выяснит, что некоторая компания x успешная, и тогда он порекомендует x, а с вероятностью 2/3 выяснится, что x разорится, и тогда аналитик с равными вероятностями порекомендует одну из двух других компаний, успех которой будет ожидаться им с вероятностью 1/2. Поэтому при заданном b ожидаемая прибыль аналитика, если он имитирует исследование, равна p + 1/3 b, а если он исследует рынок добросовестно, то вероятность правильной рекомендации составляет 1/3 + 2/3 \cdot 1/2 = 2/3, так что ожидаемая прибыль равна p + 2/3 b − 2. Аналитик заинтересован в добросовестном исследовании, если p + 2/3 b − 2 \geq p + 1/3 b, т.е. при b \geq 6. Ожидаемая прибыль инвестора составляет 2/3 (54 − b) − p − 30 = 6 − 2/3 b − p. Инвестор согласится купить информацию, на основании которой потом приобретёт рекомендуемые акции, если эта прибыль будет неотрицательной, т.е. при p \leq 6 − 2/3 b. Тогда аналитик, максимизирующий прибыль, установит параметры контракта b \in [6,9] и p = 6 − 2/3 b \in [0,2] и получит прибыль 4.
в) Если инвестор получает сертифицированную информацию об успехе компании x, то он купит её акции и получит прибыль 54 − 30 − p = 24 − p. Если подтверждена неудача, то инвестор не купит акции и получит прибыль −p (купив акции другой компании, успешной с вероятностью 1/2, он бы получил меньшую прибыль 1/2 \cdot 54 − 30 − p = −3 − p < −p). Таким образом, ожидаемая прибыль инвестора равна 1/3 (24 − p) + 2/3 (−p) = 8 − p и он готов купить информационный продукт по цене p \leq 8. Следовательно, аналитик назначит p = 8 и его прибыль с учётом издержек на исследование и сертификацию составит 8 − 2 − 1 = 5, что больше, чем в п. б).
г) Комбинация сертификации и премии не даёт увеличения прибыли по сравнению с п. в): если в условиях п. в) назначить премию b за успех, то ожидаемая прибыль инвестора равна 1/3 (24 − p − b) + 2/3 (−p) = 8 − p − 1/3 b, а прибыль аналитика равна 1/3 (p + b) + 2/3 p − 3 = p + 1/3 b − 3. Тогда p и b будут назначены так, чтобы p + 1/3 b = 8, т.е. прибыль останется той же, что в п. в). Заметим, что премия как стимулирующий инструмент здесь не работает, поскольку, имитируя исследование рынка, аналитик получил бы в среднем в качестве премии те же 1/3 b. Но взамен стимулирующую функцию выполняет сертификация.