Попытаемся договориться?
На одном странном материке есть два странных государства. В каждой стране есть монарх и необразованный народ. Этот материк страдает от загрязнения, уровень которого – у.е., и монархи встретились в двусторонних переговорах для заключения соглашения по снижению уровня загрязнения. Каждый из них может снизить своим приказом уровень загрязнений на единиц, где . К сожалению, бюджет страны понесёт потери от этого . При переговорах каждая сторона называет , и дальше если обе стороны согласны, то выполняют обязательства, иначе . Размер бюджета . Назовем величину протестным потенциалом страны после переговоров и реализации соглашения. , где – остаток бюджета, – уровень загрязнения после соглашения, – коэффициент терпимости граждан. Если , то поднимется революция и монарх потеряет власть. Если , то страной заинтересуются соседи с других материков и введут войска для добровольного военного установления демократии, и монарх опять потеряет власть. Найдите равновесия в следующих случаях, если приоритетно для каждого монарха сохранить власть, а при прочих равных он максимизирует бюджет.
А) . Народ не вовлечён в политику.
Б) . Народ интересуется политикой.
В) . Народ активно участвует в политике.
А) Легко заметить, что при любом исходе, то есть при любом оппонента, если король назначит свое нулевым, то уложится в заданные рамки. Поскольку короли стремятся максимизировать бюджет, если смогли сохранить власть, то каждый назначит .
Ответ:
Б) Запишем формулу недовольства народа первой страны в зависимости от выбранных .
Подставим вместо бюджета сразу .
. Заметим, что данная функция сугубо отрицательно зависит от . Поскольку, чем меньше , тем больше бюджет, то короли будут назначать при каждом оппонента минимально возможное. Соответственно это должно привести к равенству функции выше и , как верхнего ограничения. Таким образом решённое относительно уравнение будет кривой реакции первого короля. Симметричным уравнением будет описываться кривая реакции второго короля. Исходя из соображений симметрии, вместо подставим . Решим получившееся квадратное уравнение. . Отсюда, тк положительные, .
В). Можно заметить, что при данном единственный случай, когда короли укладываются в рамки – это . В первую очередь они стремятся сохранить власть, и при выборе при любом меньше не будет ни одного такого исхода. Если же назначить, то есть один исход при котором они сохраняют власть. (Легко посчитать, что при данных уровень недовольства народа будет проходить по верхней границе).
Ответ: