Задача 3 ОЧ-2018 11 класс
В некотором государстве Дзета живут 100 гномов. Гномы любят есть мороженое, спрос на мороженое каждого гнома задается уравнением q=20-p, где q - количество мороженого, которое хочет съесть гном за месяц (в килограммах), p - цена на мороженое (в местной валюте, френках).
Мороженое на рынок государства Дзета поставляет единственный поставщик – Мистер Эльфио. Функция издержек на производство мороженого состоит из двух частей: закупка импортного сырья и прочие издержки. Для 1 кг производства мороженого требуется закупить 0,5 кг импортного сырья. Стоимость сырья на мировом рынке составляется 2 уены за кг. Прочие издержки равны 0,004q^2 френков, где q – количество произведенного мороженного в килограммах.
Мистер Эльфио может продавать мороженое не только на внутреннем рынке, но и на мировом рынке по цене 7 уен за кг мороженого. На мировом рынке по такой цене он может продать произвольное количество мороженого. (При этом импортировать готовый товар ему запрещено введенными ограничениями – Гномы хотят потреблять только отечественные продукты).
Сегодня Мистер Эльфио планирует производство мороженого на следующий месяц. Из-за торговых войн Мистер Эльфио не знает каков будет курс национальной валюты в следующем месяце, но он обязательно должен выбрать объем производства на следующий месяц именно сегодня, изменить его не получится. (Это связано с необходимостью зарезервировать мощности, оформить на таможне ввоз сырья, оплатить электричество, оплатить зарплату и т.д.).
Мистер Эльфио считает, что валютный курс может колебаться и в следующем месяце примет одно из двух значений:
При этом в следующем месяце Мистер Эльфио может продать не весь товар, который был произведен. Хранить товар, а также сырье (в ожидании более выгодных цен) не имеет смысла, поскольку мороженое уже успеет испортиться и его придется утилизировать.
(а) Какое количество мороженого Мистер Эльфио решит производить в следующем месяце, если он максимизирует ожидаемую прибыль, которую получит?
(б) Какое количество товара и на какие рынки будет продано при развитии каждого из сценариев? Какая прибыль будет получена при реализации каждого сценария? Приведите объяснение получившейся ситуации.
1. Не имеет смысла выкидывать товар, т.к. весь товар можно продать на мировом рынке и получить за него хоть что-то вместо ничего.
2. Оптимум производства лежит между оптимумами производства, если бы мы заранее знали величину валютного курса. В этом нетрудно убедиться, рассчитав оптимальные значения для каждого из случаев и затем сравнив с полученным ответом ниже. Однако это утверждение не является ключевым и отражает некоторую экономическую интуицию.
3. Вычислим несколько промежуточных значений:
Q = 100 \cdot (20 - p) = 2000 - 100p
p = 20 - 0{,}01Q
MR_{\text{внутренний}} = 20 - 0{,}02Q
MR_{\text{внешний}} (e = 1) = 7
MR_{\text{внешний}} (e = 2) = 14
Далее рассмотрим каждый из сценариев. (При этом помним, что Q мы фиксируем заранее)
1) e=1 :
Оптимум на локальном рынке: q_{внутр}=650, P=13
Тогда оптимум на международном рынке вычисляется как:
q_{межд}=Q-650
Прибыль можно записать следующим образом:
Прибыль можно записать следующим образом:
Pr(e = 1) = 650 \cdot 13{,}5 + 7(Q - 650) - Q - 0{,}004Q^2 = 4225 + 6Q - 0{,}004Q^2
2) e=2 :
Оптимум на локальном рынке: q_{внутр}=300, P=17
Прибыль можно записать следующим образом:
Pr(e = 2) = 300 \cdot 17 + 14(Q - 300) - 2Q - 0{,}004Q^2 = 900 + 12Q - 0{,}004Q^2
Мы понимаем, что не знаем точно, каков будет валютный курс. Для расчета величины прибыли с учетом вероятности наступления данных событий используется математическое ожидание прибыли, E(P_r), то есть в некотором смысле "средняя сумма", которую будет получать Мистер Эльфио. Для ее расчета необходимо умножить величину прибыли при каждом из событий на вероятность его наступления. Запишем математическое ожидание прибыли и промаксимизируем его:
E(Pr) = p_1 \cdot Pr_1 + p_2 \cdot Pr_2 = 0{,}6 \cdot (4225 + 6Q - 0{,}004Q^2) + 0{,}4 \cdot (900 + 12Q - 0{,}004Q^2) = 2895 + 8{,}4 \cdot Q - 0{,}004Q^2
Находим максимум параболы с ветвями вниз: Q^*=1050.