Задача 3 ОЧ-2018 11 класс
В некотором государстве Дзета живут гномов. Гномы любят есть мороженое, спрос на мороженое каждого гнома задается уравнением , где - количество мороженого, которое хочет съесть гном за месяц (в килограммах), - цена на мороженое (в местной валюте, френках).
Мороженое на рынок государства Дзета поставляет единственный поставщик – Мистер Эльфио. Функция издержек на производство мороженого состоит из двух частей: закупка импортного сырья и прочие издержки. Для кг производства мороженого требуется закупить кг импортного сырья. Стоимость сырья на мировом рынке составляется уены за кг. Прочие издержки равны френков, где – количество произведенного мороженного в килограммах.
Мистер Эльфио может продавать мороженое не только на внутреннем рынке, но и на мировом рынке по цене уен за кг мороженого. На мировом рынке по такой цене он может продать произвольное количество мороженого. (При этом импортировать готовый товар ему запрещено введенными ограничениями – Гномы хотят потреблять только отечественные продукты).
Сегодня Мистер Эльфио планирует производство мороженого на следующий месяц. Из-за торговых войн Мистер Эльфио не знает каков будет курс национальной валюты в следующем месяце, но он обязательно должен выбрать объем производства на следующий месяц именно сегодня, изменить его не получится. (Это связано с необходимостью зарезервировать мощности, оформить на таможне ввоз сырья, оплатить электричество, оплатить зарплату и т.д.).
Мистер Эльфио считает, что валютный курс может колебаться и в следующем месяце примет одно из двух значений:
При этом в следующем месяце Мистер Эльфио может продать не весь товар, который был произведен. Хранить товар, а также сырье (в ожидании более выгодных цен) не имеет смысла, поскольку мороженое уже успеет испортиться и его придется утилизировать.
(а) Какое количество мороженого Мистер Эльфио решит производить в следующем месяце, если он максимизирует ожидаемую прибыль, которую получит?
(б) Какое количество товара и на какие рынки будет продано при развитии каждого из сценариев? Какая прибыль будет получена при реализации каждого сценария? Приведите объяснение получившейся ситуации.
Ответ
-
Не имеет смысла выкидывать товар, т.к. весь товар можно продать на мировом рынке и получить за него хоть что-то вместо ничего.
-
Оптимум производства лежит между оптимумами производства, если бы мы заранее знали величину валютного курса. В этом нетрудно убедиться, рассчитав оптимальные значения для каждого из случаев и затем сравнив с полученным ответом ниже. Однако это утверждение не является ключевым и отражает некоторую экономическую интуицию.
-
Вычислим несколько промежуточных значений:
Далее рассмотрим каждый из сценариев. (При этом помним, что мы фиксируем заранее)
1) :
Оптимум на локальном рынке:
Тогда оптимум на международном рынке вычисляется как:
Прибыль можно записать следующим образом:
Прибыль можно записать следующим образом:
2) :
Оптимум на локальном рынке:
Прибыль можно записать следующим образом:
Мы понимаем, что не знаем точно, каков будет валютный курс. Для расчета величины прибыли с учетом вероятности наступления данных событий используется математическое ожидание прибыли, , то есть в некотором смысле "средняя сумма", которую будет получать Мистер Эльфио. Для ее расчета необходимо умножить величину прибыли при каждом из событий на вероятность его наступления. Запишем математическое ожидание прибыли и промаксимизируем его:
Находим максимум параболы с ветвями вниз: .