С помощью векторного метода, доказанного ранее получим итоговое ограничение:

3x+y=450, где x - солисты, а y – инструменталисты. Тогда можно найти издержки производства каждого из продуктов, выраженные в часах. На изготовление одной единицы первого продукта потребуется 1+k инструменталистов, тогда

M_1=Q_1(1+k), M_2=5Q_2, M_3=10Q_3, M_4=15Q_4, где M_i − вложенная в проект сумма.

Запишем прибыли проектов от вложенных средств M :

Pr_1 = \frac{32k}{1 + k^2 m_1}

Pr_2 = (100 - q_2)q_2 = 20m_2 - 0.04m_2^2

Pr_3 = (200 - 2q_3)q_3 = 20m_3 - 0.02m_3^2

Pr_4 = (100 - q_4)q_4 = \frac{20}{3}m_4 - \frac{m_4^2}{225} - c, где c – квазипостоянные издержки.

Первое выражение 32 \frac{k}{1 + k^2} \leq 16 \quad \forall k \geq 0, значит предельная прибыль при определённых m будет больше на втором и третьем рынке.

Найдём максимальную общую прибыль от второго и третьего рынков при распределении

между ними общих средств. Если предельные выручки убывают, то если они не равны, можно отказаться от части производства там, где предельная выручка или продукт ниже, перекинув туда, где каждая следующая единица приносит больше, чем на этом участке, пока они не сравняются – в этом экономический смысл.

20 - 0.04m_3 = 20 - 0.08m_2 \implies m_3 = 2m_2 = \frac{2m}{3}

Тогда Pr_{\text{общ.}} = 20m - \frac{m^2}{75}, \quad mPr_{\text{общ.}} = 20 - \frac{2m}{75}

Допустим, мы не используем первый рынок, тогда выясним, будем ли пользоваться

последним рынком, даже если на нём нет квазипостоянных издержек.

20 - \frac{2m}{75} = \frac{20}{3} \implies M = 500, ну нас имеется максимум 450, поэтому при добавлении первого рынка часть средств будет задействоваться там, значит предельная выручка от 450 будет ещё больше и рынком точно будет невыгодно пользоваться, даже если нет квазипостоянных издержек, так как предельная выручка на нём всегда ниже и убывает.

Найдём, когда мы сможем приобретать все 60 единиц:

20 - \frac{2m}{75} = \frac{32k}{1 + k^2} \implies m = 750 - \frac{1200k}{1 + k^2} – средства, расходуемые на новый общий рынок.

750 - \frac{1200k}{1 + k^2} + 60(k^2 + 1) \leq 450 \implies 2 \geq k \geq -4 + \sqrt{19} - при таких k мы будем продавать все 60 единиц на первом рынке. Заметим, что при k\leq 1, mPr_1 возрастает, как и продолжительность участка с постоянной предельной прибылью, а при k=1 мы можем купить все 60 единиц, значит оптимально выбирать k\geq1.

Тогда Pr = 60 \times 32k + (390 - 60k^2)\left(20 - \frac{390 - 60k^2}{75}\right) \implies \max k \in [1; 2]

Получаем k^* = 1.300 \ldots \approx 1.3

Случай, когда мы не можем купить все 60 единиц не будем рассматривать, т.к. площадь под графиком предельной прибыли будет меньше, то есть прибыль убывает.

Ответ: 1,3