Физтех 2025, отборочный этап, 9 класс, второй тур, задача 7
На доске написано число . Вася заменил в нём какие-то цифры так, что получилось минимально возможное девятизначное число, делящееся на . Найдите это число.
Ответ
Ответ. .
Решение. Делимость на эквивалентна делимости на и на . Для делимости на надо заменить две последние цифры числа на одну из комбинаций , , , . Число делится на тогда и только тогда, когда его знакочередующаяся сумма цифр делится на . Чтобы в итоге получить наименьшее возможное число, надо минимизировать первые две цифры исходного числа таким образом, чтобы при этом возникла делимость на . Рассмотрим случаи.
Пусть последние две цифры — это . Получим число . Для делимости на необходимо и достаточно, чтобы
делилось на . Значит, надо взять , , и получится число .
Пусть последние две цифры — это . Получим число . Для делимости на необходимо и достаточно, чтобы
делилось на . Значит, надо взять , , и получится число .
Два других случая разбираются аналогично. Минимально возможное число равно .