Физтех 2025, отборочный этап, 9 класс, второй тур, задача 9
Дано множество чисел . Для каждого непустого подмножества множества (включая само множество ) вычислили сумму чисел, входящих в это подмножество, а затем все эти суммы сложили, получив число . На какое двузначное число заканчивается ?
Ответ
Ответ. .
Решение. Рассмотрим некоторое подмножество множества . Сопоставим этому подмножеству множество (дополняющее его до ). Тогда все подмножества множества (включая пустое) разобьются на пары, причём в каждой паре будут присутствовать все числа множества ровно по одному разу. Так как множество содержит чисел, то количество всевозможных подмножеств множества (включая пустое) равно . Значит, количество пар равно . Поэтому
Заметим, что на последние две цифры влияют только последние две цифры сомножителей, входящих в выражение. Так как заканчивается на , а — на , то заканчивается на .