Физтех 2025, отборочный этап, 11 класс, второй тур, задача 8
Площади трёх земельных участков образуют геометрическую прогрессию. С трёх участков берётся налог общей суммы , которая распределяется пропорционально площади участков. Площадь каждого участка увеличили на гектаров, в результате чего площадь большего участка стала ровно в раза больше площади меньшего. Если теперь налог той же суммы распределить по трём участкам пропорционально их площади, то окажется, что с меньшего участка надо взять на тысячи рублей больше налога, а с большего — на тысячи рублей меньше налога. Найдите первоначальную площадь наименьшего участка. Ответ укажите в гектарах.
Ответ
Ответ. .
Решение. Пусть , , (га) — площади участков (без ограничения общности ). После увеличения площадей участков их площади равны соответственно
По условию , поэтому . Подставляя это значение в , получаем, что новые площади участков равны
Первоначально налог распределялся в отношении , а после увеличения площадей участков — в отношении . Отсюда получаем уравнения
Делим первое уравнение на второе (в результате чего получаем уравнение с одной переменной ), и после преобразований получаем уравнение , откуда . Так как второй множитель не может обращаться в ноль, и .