Физтех 2025, отборочный этап, 11 класс, первый тур, задача 1

Серединный перпендикуляр к стороне треугольника пересекает сторону в точке . Известно, что , , а высота треугольника равна . Найдите наименьшее возможное значение радиуса окружности, описанной около треугольника .

Ответ

Ответ. .

Решение. Так как точки серединного перпендикуляра к отрезку равноудалены от концов этого отрезка, . Следовательно, . Обозначим . Из прямоугольного треугольника следует, что

Но тогда по теореме синусов радиус окружности, описанной около треугольника , находится однозначно:

Если конструкция не существует, принимаются также ответы «» или «нет решений».

Похожие задачи

Физтех 2025, отборочный этап, 9 класс, второй тур, задача 1

Точки K, M, P лежат на сторонах AB, BC, AC треугольника ABC соответственно. Известно, что BKPM — квадрат, а расстояния от точек K и M до прямой AC равны 13 и 17 соответственно. Найдите площадь квадрата BKPM.

Простая

Планиметрия

Физтех 2023, отборочный этап, 9 класс, первый тур, задача 2

Биссектриса внутреннего угла при вершине A и биссектриса внешнего угла при вершине B треугольника ABC пересекаются в точке E. Найдите angle BAC, если angle BEC=69^circ. Ответ укажите в градусах.

Простая

Планиметрия

Физтех 2025, отборочный этап, 9 класс, первый тур, задача 2

В остроугольном треугольнике ABC проведена высота BH. Точки P и Q — центры окружностей, вписанных в треугольники ABH и BCH соответственно, а √6 и √(24) — радиусы этих окружностей. Найдите наименьшее возможное значение площади треугольника HPQ.

Простая

Планиметрия

Физтех 2025, отборочный этап, 10 класс, первый тур, задача 2

Трапеция ABCD, основание AD которой вдвое больше основания BC, вписана в окружность ω. Прямая, проходящая через вершину B параллельно CD, пересекает вторично окружность ω в точке P, а сторону AD — в точке N. Найдите периметр трапеции ABCD, если известно, что BN=4, PN=9.

Простая

Планиметрия