ВсОШ, 2024, 1 тур, 11 класс, задание 6
«Производительность труда».
Предприниматель является владельцем двух заводов в городах и . На заводах производятся абсолютно одинаковые детали с использованием одинаковых технологий. Количество рабочих, которыми располагает каждый завод, производительность труда и заработная плата представлены в таблице.
Поступил заказ на изготовление деталей.
Какое количество рабочих необходимо задействовать при условии, что затраты на заработную плату должны быть наименьшими, а количество изготовленных деталей не должно превышать ? Приведите расчеты.
Ответ
Объектом оптимизации в данной задаче является заработная плата рабочих, задействованных при изготовлении заказа.
Цель оптимизации – минимизировать затраты на заработную плату.
При решении задачи важными являются следующие условия:
-
количество деталей, которое необходимо изготовить, – деталей;
-
изготовление деталей сверх необходимого количества не допускается;
-
заработная плата рабочего, производительность труда в зависимости от завода, а также общее количество рабочих на заводах указаны в таблице.
Заметим, что количество задействованных в изготовлении заказа рабочих не ограничено.
Отметим также, что на заводе в городе производительность труда рабочих значительно выше, чем в городе ( ед./день), в то время как заработная плата рабочих в городе выше всего на руб./день ( руб./день).
Соотношение заработной платы и производительности труда на заводе составляет руб./ед., что превышает соотношение на заводе ( руб./ед.). В этой связи целесообразно привлечь максимум рабочих с завода ..
Общий объем заказа Количество рабочих на заводе в городе Производительность труда рабочего на заводе в городе Количество рабочих на заводе в городе Производительность труда рабочего на заводе в городе
,
где - количество рабочих на заводе , - количество рабочих на заводе .
Отметим, что и могут быть только целыми числами.
Преобразуем данное выражение:
Разделим левую и правую сторону на .
Определяем методом подбора возможные целочисленные решения, где будет стремиться к полной занятости на заводе .
Если , то общий объем производства на заводе составит ед., что потребует производства изделий на заводе , что менее, чем производительность рабочего на заводе .
Если , то общий объем производства на заводе составит ед., что потребует производства изделий на заводе , что менее, чем производительность рабочих на заводе .
Если , то общий объем производства на заводе составит ед., что потребует производства изделий на заводе , что потребует привлечения рабочих с заводе .
Получаем, что минимальные затраты по заработной плате достигаются в случае, когда изготовлением заказа занимаются рабочих: на заводе в городе – человека, а на заводе в городе – человека.
Ответ: Для минимизации затрат по заработной плате целесообразно задействовать рабочих: на заводе в городе человека, а на заводе в городе человека.