Задание 6. 1 тур ВСоШ 2024 (11 класс)
«Производительность труда».
Предприниматель является владельцем двух заводов в городах А и Б. На заводах производятся абсолютно одинаковые детали с использованием одинаковых технологий. Количество рабочих, которыми располагает каждый завод, производительность труда и заработная плата представлены в таблице.
\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & \text{Кол-во рабочих, чел.} & \text{Производительность труда рабочего, ед./день} & \text{Заработная плата рабочего, руб./день} \\ \hline \text{Завод в городе А} & 40 & 200 & 800 \\ \hline \text{Завод в городе Б} & 26 & 275 & 950 \\ \hline \end{array}
Поступил заказ на изготовление 7200 деталей.
Какое количество рабочих необходимо задействовать при условии, что затраты на заработную плату должны быть наименьшими, а количество изготовленных деталей не должно превышать 7200 ? Приведите расчеты.
Объектом оптимизации в данной задаче является заработная плата рабочих, задействованных при изготовлении заказа.
Цель оптимизации – минимизировать затраты на заработную плату.
При решении задачи важными являются следующие условия:
- количество деталей, которое необходимо изготовить, – 7200 деталей;
- изготовление деталей сверх необходимого количества не допускается;
- заработная плата рабочего, производительность труда в зависимости от завода, а также общее количество рабочих на заводах указаны в таблице.
Заметим, что количество задействованных в изготовлении заказа рабочих не ограничено.
Отметим также, что на заводе в городе Б производительность труда рабочих значительно выше, чем в городе А (275-200=75 ед./день), в то время как заработная плата рабочих в городе Б выше всего на 150 руб./день ( 950-800=150 руб./день).
Соотношение заработной платы и производительности труда на заводе А составляет 800/200=4 руб./ед., что превышает соотношение на заводе Б ( 950/275=3,45 руб./ед.). В этой связи целесообразно привлечь максимум рабочих с завода Б. ( 1 балл).
Общий объем заказа = Количество рабочих на заводе в городе А* Производительность труда рабочего на заводе в городе А+ Количество рабочих на заводе в городе Б* Производительность труда рабочего на заводе в городе Б
7200=Х*200+У*275,
где Х - количество рабочих на заводе А, У - количество рабочих на заводе Б.
( 1 балл за верно приведенную формулу)
Отметим, что Х и У могут быть только целыми числами.
Преобразуем данное выражение:
Разделим левую и правую сторону на 125.
У=(288-8*Х)/11
Х=(288-11*У)/8=36-11У/8
Определяем методом подбора возможные целочисленные решения, где У будет стремиться к полной занятости на заводе Б.
Если У=26, то общий объем производства на заводе Б составит 26*275=7150 ед., что потребует производства 50 изделий на заводе А, что менее, чем производительность 1 рабочего на заводе А.
( 1 балл за верный расчет и обоснование)
Если У=25, то общий объем производства на заводе Б составит 25*275=6875 ед., что потребует производства 325 изделий на заводе А, что менее, чем производительность 2 рабочих на заводе А.
( 1 балл за верный расчет и обоснование)
Если У=24, то общий объем производства на заводе Б составит 24*275=6600 ед., что потребует производства 600 изделий на заводе А, что потребует привлечения 3 рабочих с заводе А.
( 1 балл за верный расчет и обоснование)
Получаем, что минимальные затраты по заработной плате достигаются в случае, когда изготовлением заказа занимаются 27 рабочих: на заводе в городе А – 3 человека, а на заводе в городе Б – 24 человека.
Ответ: Для минимизации затрат по заработной плате целесообразно задействовать 27 рабочих: на заводе в городе А-3 человека, а на заводе в городе Б-24 человека ( 1 балл).