ВсОШ 2026, 11 класс, теоретический тур, задача 2
Потенциальная задача
Эллиптическая галактика обладает сферической симметрией, а ее гравитационый потенциал задается выражением
где — полная масса галактики, кпк. Известно, что на круговой орбите радиуса кпк скорость равна км/с.
Справочные данные (физические постоянные и единицы измерения): открыть PDF.
A. Определите полную массу галактики.
Для автопроверки введите массу в единицах кг, округлив до десятых. Обоснование запишите в следующем поле.
A. Обоснование. Запишите связь круговой скорости с потенциалом и вычисление массы. Проверка решения — вручную по официальным критериям пункта A.
Ответ
Решение.
A. Определим зависимость круговой скорости от расстояния до центра галактики. Для этого на круговой орбите приравняем гравитационное ускорение и центростремительное и учитывая, что сила связана с производной потенциала по расстоянию:
Орбита плоская, расстояние от центра галактики равно галактоосевому расстоянию: мы просто можем рассматривать плоскость орбиты как плоскость симметрии потенциала.
Получаем выражение для массы:
B. Представим, что с расстояния на центр галактики с нулевой начальной скоростью радиально падает частица. Чему будет равна ее скорость, когда она достигнет центра галактики? Вычислите эту скорость для случая .
В этом поле запишите общий ответ формулой и обоснование. Числовой результат для введите ниже. Формула и обоснование проверяются вручную; официальные критерии относятся ко всему пункту B.
Ответ
Решение.
B. Рассмотрим прямолинейное падение с нулевой начальной скоростью с , . Энергия в расчете на единицу массы составляет
Скорость падения
В центре галактики скорость составит
При :
B. Числовой результат. Для введите скорость в единицах км/с, округлив до десятых. Это автопроверка числового результата пункта B.
C. Пусть звезда движется по близкой к круговой орбите радиуса кпк; , — отклонения в плоскости орбиты по радиусу и по азимуту. Оцените период колебаний звезды вдоль радиуса галактики.
Запишите оценку периода с единицами, формулы и обоснование. Ответ проверяется вручную.
Ответ
Решение.
C. Запишем уравнения движения в плоскости орбиты для начальной круговой орбиты радиуса :
В сферически-симметричном потенциале момент импульса , равный , сохраняется, используем это для записи соотношения для отклонения по радиусу на близкой к круговой орбите.
используем приближение :
Вычтем первое уравнение системы круговой орбиты из полученного соотношения, останется выражение
Это уравнение колебаний, коэффициент перед — квадрат частоты . Вычислим вторую производную:
Далее, выразим через производную потенциала:
и соберем выражение для квадрата частоты:
Подставим численные значения:
D. Определите, при каких значениях круговая орбита звезды радиуса является устойчивой.
Запишите условие устойчивости и обоснование. Ответ проверяется вручную.
Ответ
Решение.
D. Эффективный потенциал в случае вращения имеет вид
На круговой орбите радиуса силы уравновешивают друг друга, из чего следует
Определим условие, при котором круговая орбита будет устойчивой: она должна соответствовать «локальной потенциальной яме», при этом .
Вторая производная имеет вид
Для круговой орбиты
Для выполнения условия устойчивости нужно выполнение неравенства
Так как и , неравенство выполняется всегда.
Таким образом, в выбранном потенциале все круговые орбиты устойчивы.