№ 6. Полярный геосинхронный спутник
В решении для всех вычислений должна быть представлена формула, где искомая величина записана как явная функция известных величин, записаны подставляемые значения и только потом ответ. Если численные значения получаются из рисунков/графиков, должно быть показано, что именно измерялось.
Наблюдатель на экваторе заметил ровно в точке запада на горизонте геосинхронный полярный спутник, обращающийся по круговой орбите. Определите максимальную высоту этого спутника в данном пункте.
Формат ответа в SolveHub: укажите высоту в градусах, округлённую до целых. Автопроверка проверяет итоговое число; ход решения оценивается по официальным критериям.
Справочные материалы (константы и характеристики Земли): открыть PDF.
Автор: А. В. Ребриков.
Ответ
Решение. Геосинхронный спутник совершает один оборот вокруг Земли за одни звёздные сутки. Частным случаем геосинхронной является геостационарная орбита. Раз спутник движется по круговой орбите, её радиус равен радиусу геостационарной орбиты:
Здесь — гравитационная постоянная, — масса Земли, — звёздные сутки. Треугольник спутник — центр Земли — наблюдатель прямоугольный. Найдём угол спутник — центр Земли — наблюдатель из определения косинуса:
Здесь — радиус Земли.
Введём систему координат с центром в центре Земли так, что в момент, описанный в задаче, ось совпадает с направлением на спутник, ось направлена на полюс Земли, ось дополняет до правой тройки. Таким образом, плоскость орбиты лежит в плоскости . Запишем зависимости координат спутника от времени, обозначив за угловую скорость вращения Земли.
Координаты наблюдателя в этой же системе координат
Нас интересует момент времени, когда высота спутника максимальна. Он соответствует моменту времени, когда расстояние до спутника минимально. Запишем квадрат расстояния и посмотрим, чему равен его минимум.
Преобразуем, используя основное тригонометрическое тождество
Значит, необходимо определить максимальное значение произведения косинусов. Для его анализа, воспользуемся, например формулой косинуса суммы:
Теперь используем формулы для двойных углов
К этой формуле можно было прийти сразу, если использовать формулу для произведения косинусов
Мы можем выбрать такое время , чтобы косинус во втором слагаемом был равен единице. Тогда максимальное значение этого выражения равно
Подставим это значение в выражение для минимального расстояния до спутника
Вспомним, чему равен :
Как бы ни был расположен спутник в момент минимального сближения, стороны треугольника спутник — центр Земли — наблюдатель равны , и . Угол при наблюдателе в нём равен , где — зенитное расстояние спутника. Запишем теорему косинусов для этого треугольника:
Учитывая, что высота , получаем
Подставим числа