Задача 2 НОЦ ВолНЦ РАН (Заочный тур, 9 класс, часть Б)
Фермер собирает яблоки и груши для приготовления шарлотки. Для приготовления одной шарлотки нужно одно яблоко и три груши. Занимаясь только сбором яблок, фермер может собрать 76 яблок в месяц; занимаясь только сбором груш, он может собрать 114 груш в месяц, а если бы кто-нибудь поставлял ему ингредиенты и он мог заниматься только готовкой, то приготовил бы за месяц 95 шарлоток. Альтернативные издержки занятия любым видом деятельности постоянны. Какое максимальное количество шарлоток в месяц может фактически приготовить и съесть фермер?
1. Пусть x – количество часов в месяце, которым располагает фермер.
2. Тогда, учитывая все максимальные возможности фермера, 76Я=114Г=95Ш=x, где Я, Г и Ш – время, затраченное на сбор одного яблока, сбор одной груши и приготовление одной шарлотки соответственно.
3. На сбор одного яблока фермер тратит x/76 часов; сбор одной груши – x/114 часов; занимаясь приготовлением одной шарлотки – x/95 часов.
4. Таким образом, затраты времени на сбор ингредиентов и производство одной шарлотки составят:
\frac{x}{76} + \frac{3x}{114} + \frac{x}{114} = \frac{57x}{1140} = \frac{x}{20}
Следовательно, за x часов максимально возможно изготовить 20 шарлоток.
Ответ:
20 шарлоток.