Рассмотрим экономику, ВВП которой зависит от двух факторов производства – капитала и труда:

Y_t=\sqrt{K_t*L_t},

где Y_t – уровень выпуска (ВВП), K_t – количество капитала, a L_t – количество труда в периоде t. Известно, что в течение каждого периода 10\% имеющегося капитала "изнашивается" и потому не подлежит использованию в дальнейшем производстве.

Однако объём капитала можно увеличить с помощью инвестиций. Таким образом, в любой период времени объём капитала в стране определяется исключительно двумя показателями: тем, сколько капитала осталось после предыдущего периода, и тем, сколько в предыдущем периоде было совершено инвестиций. Иначе говоря:

K_t = 0{,}9K_{t-1} + I_{t-1},

где K_t – объём капитала в текущем периоде, K_{t-1} – объём капитала в предыдущем периоде, а I_{t-1} – инвестиции предыдущего периода.

Изначально в экономике есть некоторое положительное количество капитала. Население предпочитает сберегать 45\% от суммарного дохода и направлять оставшиеся средства на текущее потребление. Все сбережения, сделанные в период t, полностью и моментально трансформируются в инвестиции.

Назовём уровнем капиталовооружённости отношение капитала к труду, то есть величину k_t = \frac{K_t}{L_t} .

Назовём устойчивым состоянием такую ситуацию, в которой уровень капиталовооружённости не меняется от периода к периоду.

1) Пусть численность рабочей силы в данной стране постоянна (L_t=L=const), а предложение труда абсолютно неэластично. Выведите зависимость k_t от k_{t-1} и графически покажите, что со временем экономика стабилизируется возле некоторого значения k^*.

2) Найдите уровень капиталовооружённости k^*, обозначенный в Пункте 1. Чему в устойчивом состоянии будут равны темп роста ВВП и темп роста потребления на душу населения?

3) Пусть предложение труда по-прежнему абсолютно неэластично, но число работников увеличивается на 20\% с каждым периодом, иными словами, L_t=1,2L_{t-1}. Ответьте на вопросы Пункта 2 при новом допущении и аргументировано поясните, как полученные результаты отличаются от случая, где рост населения отсутствует.