а). Восстановим функции спроса. Очевидно, что 10 и 15 – это «критические» точки функций спроса, соответствующие единичной эластичности. Для линейного спроса максимальная цена спроса ровно вдвое больше, чем цена в точке единичной эластичности, и значит, эти максимальные цены спроса равны 20 и 30. При этом нетрудно доказать, что более эластичный спрос имеет более низкую максимальную цену спроса (это понятно и интуитивно), и значит, 20 – максимальная цена спроса на эластичный бинт, 30 – максимальная цена спроса на неэластичный бинт.

Таким образом, Q_э = b(20 - P_э) и Q_н=d(30-P_н). (Переменные с индексом «э» относятся к эластичному бинту, а переменные с индексом «н» — к неэластичному; d и b — некие положительные параметры).

Нам известно, что в оптимуме P_н^*=P_э^*=P^*, а также что E_э = \frac{-P^*}{20 - P^*} = 3,5E_н = \frac{-3,5P^*}{30 - P^*}

Из последнего уравнения находим, что P^*=16.

Пусть закупочные цены на бинты равны C_э и C_н.

Тогда прибыль фирмы, как функция от цен на бинты, равна

\pi(P_э^*, P_н^*) = b(20 - P_э)(P_э - C_э) + d(30 - P_н)(P_н - C_н) \implies \max

Как видим, эта функция разбивается на два слагаемых, график каждого из которых является параболой с ветвями вниз. Оптимальные для фирмы цены находятся в вершинах этих парабол, то есть ровно посередине между корнями каждой из них:

P_э^* = \frac{20 + C_э}{2} и P_н^* = \frac{30 + C_н}{2}. (Тот же результат можно было получить, приравнивая на каждом из рынков предельный доход к предельным издержкам).

С другой стороны, как мы выяснили, P_э^*=P_н^*=16, откуда находим C_н=2, C_э=12.

Итак, ответ на вопросы пункта а) таков: P^*=16, C_н=2, C_э=12.

б) Данный пункт можно решить и без расчетов (см. решение п. (в)), однако для полноты картины приведем их.

Мы знаем, что P_н^*=P_э^*, и что TR_э=TR_н. Отсюда Q_э=Q_н.

Значит, (20-16)b=(30-16)d откуда b=3,5d.

Первоначальная прибыль фирмы равна

\pi_0^*=b*4*4+d*14*14-FC=252d-FC

Если аптека согласится, то новая (единая) цена бинтов составит 7.

Изначально неочевидно, станет аптеке лучше или хуже, ведь один бинт для нее подешевел, а другой подорожал.

В этих условиях аптеке будет выгодно назначить другие розничные цены на бинты:

P_э^* = \frac{20 + 7}{2} = 13,5 и P_н^* = \frac{30 + 7}{2} = 18,5.

Новая прибыль фирмы составит

\pi_1^* = b \cdot 6,5^2 + d \cdot 11,5^2 - FC = \frac{7 \cdot 169 + 2 \cdot 529}{8} d - FC.

Чтобы сравнить эту прибыль с первоначальной, необязательно рассчитывать значение этого выражения, достаточно лишь, например, заметить, что

\pi_1^* = \frac{7 \cdot 169 + 2 \cdot 529}{8} d - FC > \frac{7 \cdot 150 + 2 \cdot 500}{8} d - FC = \frac{2050}{8} d - FC > \frac{2016}{8} d - FC = 252 d - FC = \pi_0.

Значит, новая прибыль строго больше, чем старая, ему выгодно согласиться.

в) Удивительно, но поставщику информации было достаточно — он совершенно определенно мог сказать, что фирма согласится на его предложение, даже не зная функции спроса и не производя расчетов.

Докажем, что если изначально объемы закупок бинтов равны (как в нашем случае), то фирме выгодно соглашаться на предложение поставщика, независимо от того, каковы функции спроса на бинты.

Заметим, что если в новых условиях фирма выберет «старые» объемы Q_э=Q_н=q (устанавливая «старые» цены), то величина ее переменных издержек останется прежней: C_нq+C_эq=(C_н+C_э)q раньше она была равна \frac{C_э + C_н}{2} (q + q) = (C_э + C_н) q .

Значит, и объем прибыли останется прежним (ведь функции конечного спроса на бинты не изменились). Итак, в новых условиях у фирмы всегда есть вариант действия (выбрать Q_э=Q_н=q ), который принесет ей не меньшую прибыль, чем была у нее в старых условиях. А это значит, что и максимальная прибыль, которую фирма может получить в новых условиях, не меньше, чем старая (на самом деле она даже больше, потому что старые объемы в новых условиях не оптимальны — ей выгодно сократить закупки подорожавшего бинта и увеличить закупки подешевевшего).

Все эти рассуждения мог проделать поставщик, и потому он знал, что аптека согласится.

Соответственно, пункт (б) можно было решить и без расчетов — просто проделав приведенное выше рассуждение.