Задача 3 (СПбГУ 2016)
Сельскохозяйственная артель в составе деда, бабки, внучки, Жучки, кошки и мышки получила субсидию в рамках программы государственной поддержки импортозамещения с целью выращивания новой большой-пребольшой репки, а также больших-пребольших разновидностей других огородных культур. В результате, помимо репки, у них выросли: гигантский лук, гигантская свёкла и картофель (почему-то обычных размеров). Со сбором картофеля проблем не возникло, однако оказалось, что вытягивать гигантский лук поодиночке могут только люди, а гигантская свёкла поддаётся только совместным усилиям двух человек (один человек и двое животных уже не справляются). Репку, как и в прошлый раз, оказалось возможно вытянуть только всем вместе, вшестером. В итоге от продажи урожая были выручены следующие суммы:
Дед предложил поделить итоговую сумму в 180000 руб. поровну между всеми огородниками. Но против подобной схемы выступила считающая себя "продвинутой" внучка, заметив, что люди, как обладающие большими возможностями и, соответственно, затратившие больше усилий, по справедливости должны и получить больше. Она предложила схему, по которой каждый человек получает 40000 руб., а каждое животное – 20000 руб. Если же её делёж не будет принят, внучка пригрозила в будущем году выйти из состава артели с выделением ей персонального участка в
размере 1/6 от каждой грядки, от чего артель, разумеется, проиграет.
Окончательное решение было отложено до утра. Ночью хитрая мышка переговорила сначала с дедом и Жучкой, затем с бабкой и кошкой, предлагая проголосовать утром за схему дележа, предложенную изначально дедом, и доказывая, что артель сможет обойтись и без эгоистичной внучки в случае её ухода.
Установите, есть ли у мышки возможность убедить деда, бабку, Жучку и кошку, что артель способна успешно функционировать и без внучки, работая на участке площадью 5/65/6 от изначальной, и если да - каким образом, если:
- цены и количество посаженных растений в будущем году считаются такими же, как в текущем;
- все участники переговоров (дед, бабка, Жучка, кошка и мышка) стремятся к максимизации собственного дохода;
- ни один из участников переговоров не поверит, что другой участник согласился на получение дохода меньшего, чем он был бы способен заработать сам вне артели;
- Жучка ни при каких обстоятельствах не поссорится с дедом, а кошка – с бабкой (то есть каждую пару «дед-Жучка» и «бабка-кошка» уместно рассматривать как единого участника артели);
- Бабка и кошка не знают, что мышка говорит деду и Жучке, и наоборот.
Такая возможность у мышки действительно есть, учитывая, что при обеих схемах раздела меняются доли только внучки и мышки; правда, для этого мышке придётся поступить не совсем честно. Рассмотрим возможности участников артели без внучки, при этом с математической точки зрения уместно считать, что их трое, а не пятеро, поскольку пары «дед-Жучка» и «бабка-кошка» рассматриваем как единых участников артели.
Итак, коллектив из мышки, а также пар «дед-Жучка» и «бабка-кошка» способен собирать любые овощи, кроме репки. При этом мы должны иметь в виду, что площадь общего участка уменьшается за счёт персонального участка внучки. Таким образом, из суммы в 180000 руб., которую заработали бы все герои вместе с внучкой, нужно вычесть стоимость репки, а затем уменьшить её на 1/6.
(180000–15000) \cdot 5/6=137500
При схеме раздела, предложенной внучкой, мышка должна получить 20000, а выигрыши пар складываются из выигрыша одного человека и одного животного:
40000+20000=60000
Таким образом, во-первых, ни одна из пар не согласится на меньший выигрыш, во-вторых, никто не допустит, что мышка согласится получить меньше предлагаемого ей дедом, и в-третьих, не поверит, что другая пара согласится получить меньше, чем могла бы получить, вообще не сотрудничая с прочими членами артели. Последнее число определяется как доход от картофеля и лука (больше ничего одной паре не собрать) с участка, на который может рассчитывать одна пара (то есть 1/3 огорода), то есть
90000+450003=45000
С другой стороны, сумма данных выигрышей составляет
30000+60000+45000=135000
При этом коллектив, работая впятером, способен получить на 2500 больше этой суммы. Соответственно, при переговорах с парой «дед-Жучка» (конкретное распределение денег внутри пары несущественно) мышке достаточно предложить схему раздела:
А при переговорах с парой «бабка-кошка», соответственно
