Задача 2 ОЧ-2018 9 класс
В одном отдаленном уезде проживают бедняк и кулак. Весной бедняк засеивает поле, а осенью собранный с него хлеб продает кулаку. Кулак совершенно не стеснен в средствах и поэтому покупает весь хлеб, собранный бедняком, по цене, утвержденной губернатором уезда. В текущем году, по всем предположениям, она должна составить 100 монет за мешок. Бедняк может продавать хлеб и губернатору, но по цене, на 10\% ниже утвержденной. В свою очередь, и кулак может закупать хлеб у губернатора, но по цене, на 10\% выше утвержденной.
Как-то утром бедняк, купаясь в лучах весеннего солнца, вдруг понял, что лето, по всей видимости, выдастся крайне благоприятным, а тогда губернатор может установить цену на хлеб ниже ожидаемого уровня. Он отправился к кулаку и попросил того заранее обговорить детали сделки и утвердить закупочную цену на уровне 100 монет за мешок. Кулак готов согласиться на это условие, если бедняк сиюминутно заплатит ему 75 монет в качестве компенсации возможных потерь. При этом за бедняком сохранится право расторгнуть договор, но если он откажется продать кулаку весь собранный хлеб, ему придется заплатить штраф в размере 100 монет.
(а) Предположим, осенью бедняк собрал 10 мешков хлеба. Изобразите зависимость чистого дохода бедняка от утвержденной цены в случае своевременного заключения сделки. При каких значениях утвержденной цены заключение сделки является целесообразным?
Как-то летом в уезде проводилась ярмарка, на которой был представлен новейший образец инструмента для обработки земли. Кулак справедливо ожидает роста производительности крестьян, однако опасается скептически настроенного губернатора, который, по его предположениям, может утвердить слишком высокую закупочную цену. Поэтому он предлагает бедняку встречную сделку: утвердить закупочную цену на уровне 80 монет за мешок. Бедняк готов согласиться на это условие, если кулак сиюминутно заплатит ему 50 монет в качестве компенсации возможных потерь. При этом за кулаком сохранится право расторгнуть договор, но если он вовсе откажется закупать хлеб у бедняка, ему придется заплатить штраф в размере 100 монет. В случае, если каждая сторона захочет предложить свой вариант сделки, решающим по праву первого будет предложение бедняка.
(б) Предположим, для удовлетворения своих потребностей кулаку необходимо ровно 10 мешков хлеба. Изобразите зависимость чистых расходов кулака от утвержденной цены в случае заключения только новой сделки. При каких значениях утвержденной цены заключение сделки является целесообразным?
(в) Изобразите зависимость чистого дохода бедняка от утвержденной цены в случае заключения обеих сделок, считая, что кулак будет действовать строго в соответствии с решением предыдущего пункта. При каких значениях утвержденной цены заключение сделки является целесообразным?
(а) У бедняка имеется три варианта: продажа губернатору по цене, ниже утвержденной, продажа кулаку по утвержденной цене и продажа кулаку по цене 100 монет за мешок. Заметим, что второй вариант строго доминирует первый, поскольку в этом случае и выше цена, и не надо платить штраф.
В случае продажи губернатору чистый доход составит 9p-175
В случае продажи кулаку по утвержденной цене чистый доход составит 10p-175.
В случае продажи кулаку по цене сделки чистый доход составит 10*100-75=925 монет.
Строим графики и выбираем верхнюю огибающую:
Излом графика в точке (110; 925). Использовать сделку имеет смысл при p\leq 110.
У кулака имеется три варианта: покупать хлеб у губернатора по цене выше утвержденной, покупать хлеб у бедняка по утвержденной цене и покупать хлеб у бедняка по цене сделки. И снова второй вариант строго доминирует первый.
В случае покупки хлеба у губернатора чистые расходы кулака составят 11p=150.
В случае покупки у бедняка по утвержденной цене расходы составят 10p+150.
В случае покупки у бедняка по цене сделки расходы составят 10*80+50=850.
Строим графики и выбираем нижнюю огибающую:
Излом в точке (70; 850). Использовать сделку имеет смысл при p\leq 70.
(в) Разбиваем ось на три участка:
При p\leq 70 кулак будет готов заключить свою сделку, следовательно, он освобожден от уплаты штрафа. Доход бедняка составит 1000-75+50=975 монет.
При 70<p\leq 110 кулак будет хотеть нарушить свою сделку, следовательно, он должен будет уплатить штраф. Доход бедняка составит 1000-75+50+100=1075 монет.
При p\geq 110 0 никто не захочет заключать сделку, следовательно, оба заплатят штраф. Доход бедняка составит 10p-75-100+50+100=10p-25 монет.
Строим графики и верхнюю огибающую:
Изломы в точках (70;975), (70; 1075), (110; 1075). Относительно вертикального участка возможны следующие интерпретации:
-Точки соединены отрезком (как на графике);
-Точки соединены полуинтервалом (любая одна выколота);
-Одна из точек выколота
Некорректен только вариант с обеими выколотыми точками.