1. Слава супер-демократии!

Вдохновленный выводом задачи Большой Кокосовый Храм, Мудрый Вождь решил написать книгу о том, что Супер-Демократия -- лучшая форма правления. Благо, времени у него теперь предостаточно, ведь люди на острове абсолютно счастливы. Цель книги: помочь другим, менее мудрым вождям, примирить любые, даже самые гордые деревни.

Вождь знает, что краткость - сестра таланта, поэтому его книга состоит всего из двух коротких глав.

Полный текст первой главы:

Общее счастье объединенного острова не ниже, чем разделенного, при любых предпочтениях вида u_a(x_a,G)=x_a+F_a(G) и u_b(x_b, G)=x_b+F_b(G), где F_a(G) и F_b(G) - совершенно любые функции.

Во второй главе Вождь делает вывод о том, какой из двух типов супер-референдумов (про X или Y ) позволит примирить совершенно любые деревни.

Напишите вторую главу книги (с доказательством), пользуясь утверждением первой главы. Помните, что краткость - сестра таланта.

2. Тяжела доля писателя

Вождь очень мудр и глубоко верит в утверждение первой главы. Однако слава о мудрости вождя достигла еще не всех островов, и более того, на некоторых островах живут непокорные математики, которые не верят в утверждения без доказательств.

Приведите доказательство первой главы книги либо придумайте контрпример.

3. Вы спасены, если вера ваша сильна

Прочитав Ваше решение предыдущего пункта, Мудрый Вождь грязно выругался, но спорить не стал: ведь он не знал математики. Вместо этого он достал из старого сундука потрепанную книгу, название которой давно стерлось, но имя автора он вспоминал с содроганием еще со студенческих лет -- Фихтенгольц, -- и удалился в свою хижину на долгих три года. Вышел он заметно просветленным и сразу отправился в Храм -- писать новую книгу.

В храм он пошел не случайно, ведь главный тезис книги гласил:

Если вера всех людей на острове сильна, никакой математик не сможет опровергнуть первое утверждение старой книги (измененное с учетом этого условия)

А в сноске значилось:

Определение: вера людей сильна, если обе функции F_a(G) и F_b(G) неубывающие

На этот раз Вождь снабдил утверждение доказательством, да таким, что и сам Фихтенгольц был бы доволен.

Предложите вариант доказательства, достойный новой книги

4. Смерть неверным

Один из учеников Мудрого Вождя, восхищенный новой книгой, написал статью, в которой он призывал выгнать с острова всех неверных:

Все те, чья вера пошатнулась (то есть чья функция F(G) убывает хотя бы на каком-нибудь промежутке), должны покинуть остров!

В доказательстве он использовал новую книгу вождя, а именно, он придумал к ней следствие:

Если хотя бы одна из функций F_a(G) и F_b(G) убывает хотя бы на каком-то промежутке, то благосостояние объединенного острова будет ниже, чем разделенного.

Увидев статью, Вождь... заставил ученика трижды прочитать книгу, автора которой все так боялись.

Прав ли Вождь?