Большой Кокосовый Храм - продолжение
. Слава супер-демократии!
Вдохновленный выводом задачи Большой Кокосовый Храм, Мудрый Вождь решил написать книгу о том, что Супер-Демократия -- лучшая форма правления. Благо, времени у него теперь предостаточно, ведь люди на острове абсолютно счастливы. Цель книги: помочь другим, менее мудрым вождям, примирить любые, даже самые гордые деревни.
Вождь знает, что краткость - сестра таланта, поэтому его книга состоит всего из двух коротких глав.
Полный текст первой главы:
Общее счастье объединенного острова не ниже, чем разделенного, при любых предпочтениях вида и , где и - совершенно любые функции.
Во второй главе Вождь делает вывод о том, какой из двух типов супер-референдумов (про или ) позволит примирить совершенно любые деревни.
Напишите вторую главу книги (с доказательством), пользуясь утверждением первой главы. Помните, что краткость - сестра таланта.
. Тяжела доля писателя
Вождь очень мудр и глубоко верит в утверждение первой главы. Однако слава о мудрости вождя достигла еще не всех островов, и более того, на некоторых островах живут непокорные математики, которые не верят в утверждения без доказательств.
Приведите доказательство первой главы книги либо придумайте контрпример.
. Вы спасены, если вера ваша сильна
Прочитав Ваше решение предыдущего пункта, Мудрый Вождь грязно выругался, но спорить не стал: ведь он не знал математики. Вместо этого он достал из старого сундука потрепанную книгу, название которой давно стерлось, но имя автора он вспоминал с содроганием еще со студенческих лет -- Фихтенгольц, -- и удалился в свою хижину на долгих три года. Вышел он заметно просветленным и сразу отправился в Храм -- писать новую книгу.
В храм он пошел не случайно, ведь главный тезис книги гласил:
Если вера всех людей на острове сильна, никакой математик не сможет опровергнуть первое утверждение старой книги (измененное с учетом этого условия)
А в сноске значилось:
Определение: вера людей сильна, если обе функции и неубывающие
На этот раз Вождь снабдил утверждение доказательством, да таким, что и сам Фихтенгольц был бы доволен.
Предложите вариант доказательства, достойный новой книги
. Смерть неверным
Один из учеников Мудрого Вождя, восхищенный новой книгой, написал статью, в которой он призывал выгнать с острова всех неверных:
Все те, чья вера пошатнулась (то есть чья функция убывает хотя бы на каком-нибудь промежутке), должны покинуть остров!
В доказательстве он использовал новую книгу вождя, а именно, он придумал к ней следствие:
Если хотя бы одна из функций и убывает хотя бы на каком-то промежутке, то благосостояние объединенного острова будет ниже, чем разделенного.
Увидев статью, Вождь... заставил ученика трижды прочитать книгу, автора которой все так боялись.
Прав ли Вождь?