Оч. задача 4 НОЦ ВолНЦ РАН (10-11 класс, часть Б)
В 2015 году на приобретение 2 кг яблок и 6 кг бананов было необходимо потратить 800 руб.
Если в 2016 году цена на бананы повысится на 10\%, а на яблоки снизится на 10\%, то за то же количество фруктов нужно будет заплатить 840 руб.
Сколько стоил 1 кг яблок и 1 кг бананов в 2015 году, и сколько будет стоить 1 кг яблок и 1 кг бананов в 2016 году?
Стоимость 1 кг яблок в 2015 году примем за x, а 1 кг бананов примем за y. ( 1 балл)
Составим уравнение стоимости продуктов в 2016 году:
2x+6y=800 ( 1 балл)
С учетом изменения цены составим уравнение стоимости продуктов в 2016 году:
y+0,1y – новая цена на бананы
x-0,1x – новая цена на яблоки
2 \cdot (x - 0,1x) + 6 \cdot (y + 0,1y) = 840 \Rightarrow 1,8x + 6,6y = 840 ( 2 балла)
Зная изменения цены в 2016 году, составим систему уравнений
2x+6y=800
1,8x+6,6y=840 ( 2 балла)
Выразим x из первого уравнения
x=400-3y и подставим во второе уравнение:
1,8*(400-3y)+6,6y=840 ( 2 балла)
Найдем y :
720-5,4y+6,6y=840
1,2y=120
y=100
Стоимость 1 кг бананов 2015 году – 100 руб. ( 3 балла)
Найдем стоимость яблок в 2015 году:
x=400-3*100=100 руб. ( 1 балл)
Найдем стоимость бананов в 2016 году:
y+0,1y=100+10=110 руб. ( 1 балл)
Найдем стоимость яблок в 2016 году:
x-0,1x=100-10=90 руб. ( 1 балл)
Ответ:
стоимость 1 кг яблок в 2015 году – 100 руб., в 2016 году – 90 руб.;
стоимость 1 кг бананов в 2015 г. – 100 руб., в 2016 году – 110 руб.