Задача 1. РЭ ПОШ – 2021 (11 класс)
В стране X на рынке бесконечно делимых бубликов действует монополист с линейным спросом и линейными предельными издержками, причем известно что MC(0)=0 и FC=0. Правительство решает собрать денег с рынка и вводит потоварный налог на производство для монополиста так, чтобы максимизировать суммарные сборы. По итогам проведенной реформы в правительство был отправлен отчет о рынке, однако часть данных стерлась. Помогите младшему аналитику заполнить таблицу:
\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \textbf{Налоги} & \textbf{Объем продаж} & \textbf{Прибыль монополиста} & \textbf{Налоговые сборы} \\ \hline \text{Не введены} & 4 & ? & 0 \\ \hline \text{Введены} & ? & 5 & ? \\ \hline \end{array}
До: a - bQ = cQ, \quad Q = \frac{a}{b+c}, \quad PR = \frac{a^2}{2(b+c)}.
После : a - bQ - t = cQ, \quad Q = \frac{a-t}{b+c}, \quad T = t\frac{a-t}{b+c}=> \text{max } T = \frac{a^2}{4(b+c)}, \quad Q = \frac{a}{2(b+c)}, \quad PR=\frac{a^2}{8(b+c)}.
Значит таблица будет следующей:
\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \textbf{Налоги} & \textbf{Объем продаж} & \textbf{Прибыль монополиста} & \textbf{Налоговые сборы} \\ \hline \text{Не введены} & 4 & 20 & 0 \\ \hline \text{Введены} & 2 & 5 & 10 \\ \hline \end{array}
\quad
Критерии: за каждое правильно найденное значение из трех дается 10 баллов, арифметическая ошибка -5 баллов, логическая -10. Утешительные баллы даются за выражение оптимума через параметры (по 3 балла за каждый).