Миллионы белых роз
В Королевстве Роз жители очень любят клумбы с цветами. Садовник Иван, известный профессионал в деле создания клумб, обсуждает контракт с Заказчиком. Изначальный план Заказчика состоит в том, чтобы всего (суммарно на всех клумбах) было высажено x миллионов белых роз и y миллионов синих роз (оба эти количества могут быть не целыми; каждый высаженный миллион роз занимает одну условную единицу длины и имеет нулевую ширину), при этом должно быть m прямоугольных клумб только с белыми розами и n прямоугольных клумб только с синими розами (никаких других клумб не должно быть). Кроме того, высаживать цветы нужно только по краю каждой клумбы (изменить это требование Иван не в силах, так как Заказчик всенепременно хочет ставить в центры клумб статуи). Денежное вознаграждение Ивана равно суммарной площади всех клумб (так как Заказчик ценит именно такую площадь и готов за неё платить). Иван хотел бы максимизировать своё вознаграждение, поэтому он поэтапно предлагает вносить правки в изначальный план. Известно, что цветы можно приобретать только на рынке, где 1 миллион белых роз стоит 2 золотые монеты, а 1 миллион синих роз стоит 3 золотые монеты. Заказчик готов покрыть расходы садовника на цветы в размере не более 216 золотых монет (считайте, что деньги бесконечно делимы), а собственные средства на покупку цветов Иван расходовать не может.
(а) [4 балла] Иван рассматривает i -ю клумбу, на которую планируется посадить x_i белых роз (это число фиксировано). Какое соотношение сторон Иван предложит Заказчику для этой клумбы, а также для всех остальных клумб, чтобы максимизировать свой доход?
(б) [7 баллов] Пусть Заказчик принял предложение садовника о соотношении сторон из п. (a), поэтому Иван решил продолжить оптимизацию плана. Рассмотрим первую и вторую клумбы с белыми розами, на которых планируется посадить x_1 и x_2 роз, соответственно. Найдите, каким будет изменение суммарной площади всех клумб, если все розы со второй клумбы перераспределить на первую, сохранив оптимальное соотношение сторон. Приведите объяснение для полученного результата.
(в) [3 балла] Какое число клумб с розами каждого цвета Иван предложит Заказчику, чтобы максимизировать свой доход?
(г) [8 баллов] Пусть Заказчик принял предложение Ивана о числе клумб с розами каждого цвета. Какое число белых и какое число синих роз Иван предложит посадить, чтобы максимизировать свой доход? Найдите вознаграждение Ивана.
(д) [3 балла] Пусть Заказчик принял и это предложение. Довольный своими успехами в переговорах, Иван уже почти лёг спать, как вдруг получил СМС от Заказчика с неожиданным предложением заменить каждую согласованную ранее прямоугольную клумбу на две клумбы в форме прямоугольных треугольников. Не производя вычислений, объясните, как это предложение, если оно будет реализовано, повлияет на вознаграждение Ивана и почему (необходимо привести только одно обоснование).