Котлетки из мясного фарша
Фермер Иванов еженедельно поставляет в цех по переработке мяса 1200 кг говядины и 1400 кг свинины без костей. Это мясо там перемалывают и предлагают на продажу в виде готового фарша, при этом фарш весит столько же, сколько потраченные на его производство ингредиенты. В настоящее время цех выпускает фарш двух видов: фарш «Домашний», в котором содержится 30\% говядины и 70\% свинины и фарш «Фермерский», в котором содержится 80\% говядины и 20\% свинины.
Ресторан «Советский» еженедельно закупает два этих вида фарша. По специальному рецепту повара их смешивают таким образом, чтобы содержание говядины и свинины оказалось равным, и готовят фирменные котлетки. Эти котлетки пользуются огромным спросом у завсегдатаев и всегда все раскупаются. Вес одной котлетки 100 грамм, а мяса в ней ровно 80\%.
1) Постройте кривую производственных возможностей цеха по переработке мяса и объясните ее построение.
2) Определите, сколько фарша каждого вида еженедельно закупает ресторан.
3) Рассчитайте, сколько фирменных котлеток продает ресторан в неделю.
1) При построении КПВ цеха по переработке мяса следует учитывать два ограничения: ограничение на говядину и свинину.
Введем обозначения для переменных.
Пусть X – это количество (в кг) изготавливаемого фарша «Домашний», а Y – это количество (в кг) изготавливаемого фарша «Фермерский».
Тогда ограничение по говядине будет выглядеть следующим образом:
0,3X+0,8Y\leq 1200,
а ограничение по свинине будет выглядеть так:
0,7X+0,2Y\leq 1400.
Множество производственных возможностей по производству фарша ограничено осями координат и указанными ограничениями по говядине и свинине.
\begin{cases} 0{,}3X + 0{,}8Y = 1200 \\ 0{,}7X + 0{,}2Y = 1400 \end{cases}
Получаем, что X=1760 кг Y=840 кг.
Легко можно вывести функцию, описывающую КПВ:
Y = \begin{cases} 1500 - 0{,}375X, \ \text{при} \ 0 \leq X \leq 1760 \\ 7000 - 3{,}5X, \ \text{при} \ 1760 \leq X \leq 2000 \end{cases}
График КПВ будет выглядеть следующим образом.
2) Пропорцию, которая определяет, сколько и какого фарша следует покупать ресторану, находим из уравнения по содержанию говядины в фаршах:
0,3X+0,8Y=0,5(X+Y) или из уравнения по содержанию свинины в фаршах: 0,7X+0,2Y=0,5(X+Y)
Получаем, что Y=\frac{2}{3}X или X=1,5Y
Так как ресторан заинтересован в изготовлении наибольшего количества котлеток, то он будет закупать фарш в указанной пропорции, и выйдет на границу КПВ. Если закупить1760 кг фарша «Домашний», то для изготовления котлеток потребуется докупить 1760*2/3=1173, кг фарша «Фермерский», а этот объем фарша находится за КПВ. Значит ресторан будет покупать фарш в объеме меньшем, чем 1760 кг. Это предполагает выход на КПВ на участке, связанным с ограничением по говядине. Это соответствует точке на КПВ, координаты которой мы находим из равенства1500-0,375X=\frac{2}{3}X. Получаем, что X=1440, и, соответственно, Y=960.
Ресторан покупает фарш «Домашний» - 1440 кг и фарш «Фермерский» - 960 кг.
3) Смешав два вида фарша, ресторан получает (1440+960=2400) кг фарша, пригодного для изготовления котлеток. В каждой котлетке содержится 80 грамм фарша.
Поэтому количество котлеток, которое изготавливает и продает ресторан равно(2400*1000/80=30000), т.е. 30 тысяч котлеток.
Ответ:
1) см. график
2) Ресторан еженедельно покупает 1440 кг фарша «Домашний» и - 960 кг фарша «Фермерский».
3) Ресторан еженедельно продает 30 тыс. котлеток.