Дальняя дорога
Однажды экономист проезжал мимо поста дорожной службы, где увидел своего дядю-инспектора. Завязался разговор, в ходе которого милиционер поднял наболевшую тему: "Вот, ездят обгонщики по обочине, а честные граждане вынуждены их пропускать и тратить своё время". На что экономист заметил: "Но ведь от того, что используется больше полос, пропускная способность дороги увеличивается". Они пожали руки, и экономист поехал дальше, думая про себя о проблемах автодорожного регулирования.
Время, которое должен потратить каждый автомобиль, чтобы преодолеть участок на дороге задаётся уравнением: , где – порядочные автомобилисты, – обгонщики. Если кто-то решит поехать по обочине, то для каждого обгонщика время составит следующую функцию: .
a) Считайте, что все граждане законопослушные. Найдите сколько времени понадобится водителю для преодоления трассы, если навигатор подсказывает, что на дороге машин.
б) Найдите общественный оптимум (равновесие: сколько машин поедет по дороге и сколько по обочине, а также время которое они затратят), при условии, что все автомобилисты рациональны, а их общее количество .
*в) Предположим, в какой-то момент времени на дороге оказались только машины одного таксопарка. Служба такси, очевидно, минимизирует время поездки всех своих пассажиров. Найдите, сколько машин она отправит и по какому пути.
г) Государство взяло на вооружение исследование службы такси из предыдущего пункта и решает ввести штраф на обгонщиков, чтобы изменить оптимум. Считайте, что для обгонщиков заплатить у.е. штрафа равносильно потратить минуту. Вероятность попасться инспектору составляет . Какой нужно ввести налог для устранения обгонщиков? *А для минимизации общего времени всех участников дорожного движения?
Прим: для решения пунктов со звездочкой вам пригодится калькулятор.