Задача 1. Блиц по играм
а) Ивашка и Ромашка играют в увлекательную игру: одновременно пишут на бумажке целое число от 1 до 100. Побеждает тот, кто выбрал наиболее близкое к половине среднего арифметического этих чисел. Если выбрано одно и то же число, засчитывается ничья. Найдите равновесия Нэша в этой игре (оба мальчика стремятся победить)
б) Эльфы на кухне Хогвартса приготовили 1001 тыквенный кексик. Студенты Гриффиндора и Слизерина соревнуются в их поедании по следующим правилам: студент Гриффиндора может взять за один раз либо 2, либо 3 кексика, студент Слизерина — либо 1, либо 5. Факультет считается победителем, если после его хода соперник не сможет сделать новый ход по установленным правилам (в том числе потому, что кексики закончились). Какой факультет победит при правильной игре, если первым ходит Гриффиндор?
в) Во время одной из игр, два игрока договорились между собой, что они будут придерживаться одной и той же стратегии, которая в каждом периоде приносит 6 д.е. первому игроку и 5 д.е. второму игроку. Однако каждый из них рассматривает возможность отклониться от этой стратегии. Если первый игрок отклонятся, то он получит 9 д.е., а если второй игрок отклонится, то он получит 10 д.е. Однако известно, что как только кто-то из них отклонится от договора, они оба будут получать 2 д.е. в каждом последующем периоде. При каких значениях фактора дисконтирования \delta \in (0; 1) (выигрыши в будущем домножаются на \delta), их изначальный договор останется не нарушен? Если игроку безразлично отклоняться или нет, он не отклоняется.