S017
Школьница Шарлотта покупает в школьной столовой только два блюда: клубничные пудинги и омлеты. Ее функция полезности имеет вид: , где – число купленных в течение месяца пудингов, – число купленных в течение месяца омлетов. Омлеты и пудинги можно приобрести как в качестве отдельных блюд, так и в составе комплексного обеда (пудинг + омлет). В качестве отдельного блюда пудинг имеет цену руб., омлет как отдельное блюдо продается по цене руб. Комплексный обед стоит рублей. Месячный бюджет Шарлотты равен рублям. Какое количество пудингов и омлетов съест Шарлотта за месяц, максимизируя свою функцию полезности?
Пусть и – это объемы пудингов и омлетов, купленных как отдельные блюда, а – число купленных комплексных обедов. Для начала выясним, какие значения могут принимать эти переменные. Зададимся вопросом: может ли быть получено такое оптимальное решение, при котором , , ? Если получено решение, при котором и одновременно больше нуля, то это значит, что вместо некоторого количества комплексных обедов были приобретены за более высокую цену пары пудингов и омлетов в качестве отдельных блюд. Очевидно, такое решение не может быть оптимальным. Следовательно, какая-то из этих переменных ( или ) должна быть равна нулю.
Если бы пудинги и омлеты имели одну и ту же цену, то при заданной функции полезности Шарлотта приобрела бы одинаковые объемы этих блюд. Но, поскольку омлет стоит намного дешевле, а показатели степени при и в функции Кобба-Дугласа равны, число омлетов будет больше, чем число пудингов. Это значит, что все пудинги будут приобретены в составе комплексных обедов. То есть нулю равна величина . В этом случае общее число пудингов , общее число омлетов .
Бюджетное ограничение Шарлотты: . Отсюда .
достигается при условии: . . .
. .
Ответ. пудингов и омлетов.